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Nesse caso, pouco importa o caminho que sigas - replicou o gato.

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Aritmética modular

[♀]Matemática na Veia 2007-2016 O Blog do Estudante Inteligente

Relatos de erros e correções em relação ao português serão bem vindos e podem ser esclarecidos através do RH - Sugestões e Reclamações.

Aritmética modular

Uma das ferramentas mais importantes na teoria dos números é a aritmética modular, que envolve o conceito de congruência. Uma congruência é a relação entre dois números que, divididos por um terceiro - chamado módulo de congruência - deixam o mesmo resto. Por exemplo, 32 é congruente com 8 módulo 12 (32=2x 2+8 e 32=0x12+8). Esta relação representa-se do seguinte modo: 32 = 8 (mod 12)

Propriedades das congruências


se  a = b \ (mod \ m), então


a + c = b + c \ (mod \ m) \ e \ a -c = b - c \ (mod \ m)

a \times c = b \times c \ (mod \ m)


Para qualquer inteiro c,  se 


e = f \ (mod \ m)

a \times e = b \times f \ (mod \ m)

Acontece frequentemente, que preferimos ignorar os múltiplos de um dado número quando fazemos os cálculos. Pense nos dias da semana ou nas horas do dia; no primeiro caso ignoramos múltiplos de 7, no segundo, múltiplos de 24 [ou, muitas vezes, múltiplos de 12]. São exemplos de "aritmética, módulo n".

A "Aritmética do Relógio" é um exemplo de aritmética módulo n, neste caso 12. Se forem 7:00 horas e passarem 10 horas, então serão 5:00 [7 + 10 é igual a 5 módulo 12]. Se passarem 89 horas, serão 0:00 [7 + 89 é igual a 0 módulo 12]. Olhamos para o tempo entre os múltiplos de 12. A aritmética modular é a formalização matemática deste tipo de raciocínios.
Para ver se você já entendeu a "aritmética do relógio", ou seja, as congruências módulo doze, clique na imagem do relógio: Necessário ter  Plugin JAVA instalado.
    

CLIQUE NA IMAGEM DO RELÓGIO 



 Na página do Professor Paulo Jorge Pais Lourenço, você encontrará o "Jogo da Aritmética do Relógio" em várias versões. [ 6 versões analógicos e 3 digitais ] , Divirta-se! 


Quando estamos a utilizar a aritmética usual sobre os números naturais, apenas temos como números o 1, o 2, o 3, o 4, o 5, ... Se em vez dos naturais considerarmos os números inteiros passamos a trabalhar com os números..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... E no caso da Aritmética Modular? Quais os números que se consideram nesta aritmética?

Vejamos o exemplo de    20 = 8 (mod 12)

Neste caso temos que o número 20 é identificado com o número 8, ou seja, termos o número 20 ou o número 8 é equivalente na Aritmética Módulo 12. Equivalente a estes dois, temos ainda uma infinidade de outros números: o 32, o 44, o 56,... A este conjunto de números
{8, 20, 32, 44, 56, 68, 80,...}

Chamamos classe de equivalência módulo 12 e esta classe vai ser identificada pelo mais pequeno deles, ou seja, pelo 8. De um modo análogo, temos ainda mais 11 classes de equivalência nesta aritmética representadas pelos números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11.


E estes vão ser os nossos "números" nesta aritmética: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e 11.

Generalizando, os "números" considerados na Aritmética Modular Módulo n são: 0, 1, 2,..., n-2 e n-1.

Uma vez que este tipo de aritmética apenas considera um número finito de "números", também se diz que a Aritmética Modular é uma aritmética finita.

REFERÊNCIAS:

http://www.atractor.pt/
http://www.atractor.pt/mat/alg_controlo/arit_modular/relogio_12.html
http://www.relogiomodular.alojamentogratuito.com/
 
Em breve mais atualizações, aguarde.
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Antonio Sobre a Autor:
Antonio Blogueiro desde 2007, gaúcho, gosta muito de ler, e é totalmente viciado em internet. Comecei blogar em 2005, e criei o Matemática na Veia no inicio de 2007. Sou formado em licenciatura Plena em Matemática pela UFPEL. Servidor Público,e fanático pela Web.
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1 Comentários:

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