Recordando Operações
O fator responsável pelo maior número de erros nos
desenvolvimentos de exercícios matemáticos é sem dúvida nenhuma a "regra de sinais".
Além disso a regra de sinais pode ser considerada um dos fatores mais importantes na
matemática. Mas para entendermos como ela funciona, temos que ter bem
assimilado como funcionam as quatro
operações básicas desta disciplina.
- Adição
- Subtração
- Multiplicação
- Divisão
Você sabe como essas operações são feitas? E quando devemos
utilizá-las na solução de um problema?
Muita gente pensa, que quem faz contas com rapidez é boa em
matemática.
É
engano! Fazer contas rapidamente é uma habilidade que se adquire com a prática.
Muito mais importante que fazer contas com rapidez é descobrir quais são as
operações que devemos usar para resolver um problema. Portanto, em
matemática, o mais importante é o raciocínio.
Para começar, leia os quatro problemas abaixo e tente
descobrir quais são as contas que devem ser feitas.
a) Um motorista de táxi andou 180
km em certo dia e 162
km no dia seguinte.
No total, quanto ele andou nesses dois dias?
b) Uma mercadoria que custa R$37,00 foi paga com uma nota de
R$50,00. De quanto foi o troco?
c) Uma caixa de leite tipo “longa vida” possui 16
litros de leite. Quantos litros
existem em 12 caixas?
d)Devo repartir 24 balas igualmente entre meus três filhos.
Quantas balas deve receber cada um?
Em todos os exemplos desta aula, usaremos apenas números inteiros. Eles são os nossos conhecidos 0, 1, 2, 3,... E também os negativos - 1, - 2, - 3,... .
- A adição
Podemos pensar na operação de adição quando queremos juntar
as coisas que estão separadas.
Exemplo 1:
Em uma pequena escola, existem 3 turmas: uma com 27
alunos, outra com 31 alunos e outra com 18 alunos. Quantos alunos existem ao
todo nessa escola?
Para reunir os alunos das 3 turmas, devemos somar a
quantidade de alunos de cada turma. A operação que devemos fazer é:
27 + 31 + 18 = 76
Existem, portanto, 76 alunos nessa escola. Cada um dos números de
uma soma chama-se parcela. Na
operação de adição, podemos somar as parcelas em qualquer ordem. Por isso, temos certeza de que 18 + 27
+ 31 também dá 76.
Devemos ainda lembrar que números negativos também podem ser
somados.
Por exemplo, a soma de - 12 com - 5 dá - 17. Para escrever essa
operação fazemos assim:
- 12 + (- 5) = - 17
Observe que colocamos - 5 entre parênteses para evitar que os
sinais de + e de - fiquem juntos. Mas existe outra maneira, mais simples, de
escrever a mesma operação. Veja:
- 12 - 5 = - 17
- A subtração
Podemos pensar na operação de subtração quando queremos tirar uma
quantidade de uma outra para ver quanto sobra. Veja o exemplo.
Exemplo 2
Uma secretária recebeu a tarefa de preparar 90 envelopes de
correspondência. Até a hora do almoço, ela já tinha feito 52. Quantos ela ainda
tem de fazer?
Temos aqui um exemplo claro de operação de subtração. A operação
que devemos fazer é:
90 - 52 = 38
Assim, depois do almoço, a secretária deverá preparar ainda 38
envelopes.
Observe agora que, em uma subtração, quando o segundo número é
maior que o primeiro, o resultado é negativo. Veja:
9 - 5 = 4
5 - 9 = - 4
Para visualizar as operações de adição e subtração, representamos
os números inteiros como pontos de uma reta.
Na operação 9 + 5 = 14, partimos do número 9, andamos 5 unidades para a direita e chegamos ao número 14.
Na operação 9 - 5 = 4, partimos do número 9, andamos 5 unidades
para a esquerda e chegamos ao número 4.
Na operação 5 + 9 = 14, partimos do número 5, andamos
9 unidades para a direita e chegamos ao número 14.
Na operação 5 - 9 = - 4, partimos do número 5, andamos 9 unidades
para a esquerda e chegamos ao número - 4.
Para resumir, as regras são as seguintes:
- Escrever 5 ou + 5 é a mesma coisa.
- Quando sinais de números e sinais de operações aparecerem
juntos, então:
Regras: Exemplos:
(+) e (+) = (+) 5 + (+ 3) = 5 + 3 = 8
(+) e (- ) = (- ) 5 + (- 3 ) = 5 - 3 = 2
(- ) e (+) = (- ) 5 - (+ 3) = 5 - 3 = 2
(- ) e (- ) = (+) 5 - (- 3 ) = 5 + 3 = 8
Veja, a seguir, como devemos proceder
numa situação em que há soma e subtração de diversos números.
Exemplo 3
Qual será o saldo de João após essas operações?
Vamos representar os depósitos por números positivos
e as retiradas por números negativos. Devemos então fazer a seguinte conta:
53 - 25 + 65 - 30 - 18
O resultado dessa operação será a quantia que João ainda tem no
banco. A melhor forma de fazer esse cálculo é somar os números positivos (os
depósitos), somar os números negativos (as retiradas) e depois subtrair o
segundo resultado do primeiro. Assim:
053 - 25 + 65 - 30 - 18 =
(53 + 65) - (25 + 30 + 18) = 118 -
73 = 45
Portanto, João ainda tem R$ 45,00 em sua conta bancária.
- A multiplicação
A multiplicação nada mais é que uma soma com parcelas iguais. Por exemplo:
7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5. 7 = 35
O número 7 apareceu 5 vezes. Então, 7 vezes 5 dá 35. Da mesma
forma:
5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 7 . 5 = 35
Agora, o número 5 apareceu 7 vezes. Então 5 vezes 7 dá 35. Você já
sabe que, em uma multiplicação cada número chama-se fator.
Vamos, agora, recordar algumas propriedades da multiplicação.
1) Na multiplicação, a ordem dos fatores não
altera o resultado. Por isso:
5 . 7 = 7 . 5
2) Quando temos várias multiplicações
seguidas, qualquer uma delas pode ser feita primeiro. Por exemplo:
2 . 3 . 5 = (2 . 3) . 5 = 6 . 5 = 30
2 . 3 . 5 = 2 . (3 . 5) = 2 . 15= 30
2 . 3 . 5 = (2 . 5) . 3 = 10 . 3= 30
3) Quando um número multiplica uma soma, ele
multiplica cada parcela dessa soma. Por exemplo:
2.(3 + 4 + 5) = (2.12) = 24 Ou, ainda:
2.(3 + 4 + 5) = (2 . 3) + (2 . 4) + (2 . 5) = 6 + 8 + 10 = 24
Falta apenas recordar o que ocorre quando temos multiplicações
com números negativos. As regras são as seguintes:
(+) . (- ) = (- )
(- ) . (+) = (- )
(- ) . (- ) = (+)
Vamos ver alguns exemplos para entender bem essas regras.
- Para calcular 4 . (- 3) podemos fazer uma soma com 4 parcelas
iguais a - 3.
Daí:
4 . (- 3) = (- 3) + (- 3) + (- 3) + (-3)
4 . (- 3) = - 3 - 3 - 3 - 3
4 . (- 3) = - 12
- Para entender que o produto de dois números negativos é
positivo vamos lembrar que o produto de qualquer número por zero dá zero. Portanto:
(- 3) . 0 = 0
Vamos então escrever essa igualdade assim: (- 3) . (- 2 + 2) = 0
É a mesma coisa. A igualdade continua certa. Mas, utilizando uma das propriedades da multiplicação, podemos escrever a mesma coisa de forma ainda diferente. Veja:
Ora, sabemos que (- 3) . 2 dá - 6. Logo, devemos ter
(- 3) . (- 2) = 6 para que a soma seja zero.
- A divisão
Podemos pensar na divisão quando queremos dividir um total de
partes iguais ou quando queremos saber quantas vezes um número cabe no outro.
Exemplo 4
Desejamos colocar 80 lápis em 5 caixas, de maneira que todas as
caixas tenham o mesmo número de lápis. Quantos lápis devemos pôr em cada caixa?
A resposta é fácil. Basta dividir 80 por 5.
80/5 = 16
Logo, cada caixa deve conter 16 lápis.
No exemplo que acabamos de ver, a divisão foi exata ou seja,
conseguimos colocar a mesma quantidade de lápis em cada caixa sem que sobrasse
nenhum.
O que aconteceria, entretanto, se tivéssemos 82 lápis para pôr nas
5 caixas? Á resposta é fácil. Cada caixa continuaria com 16 lápis, mas
sobrariam 2.
Veja a operação:
Na
operação acima, 82 é o dividendo, 5 é o divisor, 16 é o quociente
e 2 é o resto. Esses quatro números se relacionam da seguinte forma:
Atenção! O resto é sempre positivo e menor
que o divisor.
Ao fazer uma divisão, estaremos sempre encontrando dois novos
números: o quociente e o resto. Vamos ver mais um exemplo do uso dessa operação
em um problema.
Exemplo 5
Certo elevador pode transportar no máximo 6 pessoas. Se existem 46
pessoas na fila, quantas viagens o elevador deverá fazer para transportar todas
essas pessoas?
Devemos dividir 46 por 6. Observe a operação:
O quociente igual a 7 indica que o elevador fará 7
viagens com lotação completa.
Mas o resto igual a 4 indica que sobrarão ainda 4
pessoas para serem transportadas. Logo, o elevador deverá fazer uma viagem a
mais para transportar as 4 pessoas restantes. Portanto, o elevador fará 8
viagens para transportar todas as pessoas.
Exercício 1
Efetue as operações indicadas:
a) 37 + 43 =
b) 55 - 18 =
c) 18 - 55 =
d) 12 + (- 7) =
e) 12 - (- 7) =
f) - 9 - 6 =
g) - 9 + (- 6) =
h) - 9 - (- 6 ) =
i) 13 .7 =
j) (- 8). 9 =
l) (7 - 3).4 =
m) (3 - 8) . (- 4) =
Para ter acesso a mais exercícios, baixe
a seguinte apostila: 2mat1-b.
Onde você vai encontrar a integra do material exposto neste artigo.
Esta
e outras apostilas do ensino fundamental e médio, estão disponíveis aqui no
blog Matemática na veia nos seguintes endereços:
Por enquanto ficamos por aqui. Em breve mais atualizações, aguarde!
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REFERÊNCIA:
Texto
adaptado da apostila 2mat1-b elaborada para “O
Telecurso 2000”
criado pela Fundação Roberto Marinho e Fiesp.
