Apostando nos números. Quem ganha a copa do mundo 2010?

 Quer apostar uma graninha aí ?

Apostar em jogos da copa virou febre do momento, mas a grande maioria dos apostadores simplesmente conta com a tal de "Sorte". Acredito que seja um aliado bom nesta copa do mundo, devido ao grande número de zebras ocorridas.  

Pensando nos meus visitantes mais curiosos, e que tenham uma queda por apostas, vou deixar um breve estudo aritmético a respeito do próximo campeão da copa.

É claro que estes cálculos não estão embasados em estudos científicos sérios, mas sei de algumas pessoas que usaram este critério para apostar em bolões do campeão da copa 2010. É fato também que muitos dos treinadores e jogadores  de todos os times e seleções gostam de um numerozinho de sorte e uma mandinga de vez em quando. Tem torcedor que usa a mesma cueca durante toda a copa. - Putz ! Esta foi forte! - Talvez alguns até acertem usando estas ferramentas originais de previsão, mas aí entram as probabilidades matemáticas, estatísticas, conteúdo este que será tratado em breve aqui no blog.

Vejamos do que se trata o assunto :

Vamos relembrar alguns dados sobre as copas anteriores. 

Em 1970 o Brasil foi campeão do mundo. Em 1994 também levamos a taça. Se somarmos os anos 1970 + 1994  dá  3964.

Um número muito bonito!

Também sabemos que a  Argentina se deu bem em 1978 e depois em 1986,mas pararam por aí. Também vamos somar estes valores.  1978 + 1986  dá 3964.

Coincidência? Pura matemática? Forças ocultas dos deuses africanos? Não sei, mas que é interessante é!

Vejamos mais uma das grandonas. A Alemanha levou a taça em 1974 e 1990. Somando estes valores, 1990 + 1974 dá 3964.

Vamos fazer alguns cálculos com outros números agora, ou melhor, outros anos.

Como bons brasileiros e apaixonados por futebol, também sabemos que  o  Brasil ganhou a copa do mundo de 2002, e que o capitão Lucio estava lá defendendo nossa pátria com unhas e dentes. Também ganhamos em 1962 com Garrincha, Vavá e grande elenco. Se somarmos estes valores,  1962 + 2002 dá  3964.

E agora!  Seguindo com esta mesma lógica o possível ganhador da Copa de 2010 será o mesmo felizardo que levou a taça Jules Rimet em 1954. Somando: 1954 + 2010 = 3964.

Mas quem venceu em 1954? A Alemanha é claro! . 

Bom! Só resta esperar até o final para conferir nossos cálculos. Se der certo em 2010 talvez eu arrisque um palpite em 2014. Até lá têm muita coisa pra rolar.  Mãe Dina que se cuide! 
O que você acha dá Brasil ou Alemanha? Note que os cálculos foram realizados levando em conta o ano de 1954. Deixe a sua opinião. Um abraço e até a copa de 2014 aqui no Brasil.  Rumo ao ...  ( Esperando atualização ).

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Potenciação com expoentes racionais,irracionais e reais

POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONAL

No artigo de hoje veremos qual o significado da representação de potência racional onde a^q , com a positivo e p = m/n é um número racional, m ∈ Z , n ∈ Z^* , de modo que a propriedade fundamental vista nos tópicos anteriores continue válida.

O conjunto dos números racionais é formado por todos os números que podem ser escritos na forma  m/n , onde m é um número inteiro qualquer e n um número inteiro qualquer diferente de zero.  É indicado pela letra maiúscula Q, e representado da seguinte forma:

Q = {x | x = m/n, m ∈ Z , n ∈Z^*} 

De modo geral, baseando-se na propriedade fundamental, temos:  a^p .a^q = a^p+q , deste modo, fazendo p = 1/n , teremos :

Vejamos alguns exemplos:

Do mesmo modo anterior, preservando a propriedade fundamental, e fazendo p = m/n, teremos:

Vejamos exemplos da definição acima:

Potência com expoente irracional

Trabalhamos até agora com expoentes naturais, inteiros e racionais vistos no início deste artigo. Veremos agora uma forma de caracterizar potências com expoentes irracionais, ou seja, números que pertencem ao conjunto dos números irracionais.

Veja alguns exemplos de números irracionais:


Usando a relação de Pitágoras, podemos representar alguns destes valores sobre a reta numérica.

Quando o teorema de Pitágoras é aplicado a um triângulo com dois lados que equivalem a um, tem-se como resultado a hipotenusa dada peça equação c² = 1²+1² = 2 , logo temos que c =  

Representação geométrica da raiz quadrada de 2

Curiosidades 1 :

Acredita-se que tenha sido o primeiro número irracional reconhecido como tal. Esta importante descoberta é atribuída a Hipaso de Metaponto, da escola de Pitágoras. Conta-se mesmo que a demonstração tenha custado a vida de seu descobridor, uma vez que contrariava as idéias predominantes entre os pitagóricos de que tudo era número inteiro.

Fonte:http://pt.wikipedia.org/wiki/Raiz_quadrada_de_dois 

Fica evidente que nem sempre a raiz de um número racional é um número racional.  Para que a teoria dos números racionais evoluísse foi necessário o avanço dos estudos sobre infinitos e geometria analítica. Foram alguns séculos para que, entre tantas contribuições, chegássemos ao século xix com Dedekind (J.W.R. Dedekind, 1831-1916) e Cantor (George Cantor, 1845-1918), dando rigor científico a esta teoria.

            Curiosidades 2 :

- O número p (PI) é obtido dividindo-se a medida do comprimento de qualquer circunferência pela medida de seu diâmetro.

- O número irracional p (PI) foi calculado com o auxílio de um computador, obtendo-se 1,2 trilhões de casas decimais sem que tenha surgido uma decimal exata ou dizima.  

Para facilitar os cálculos podemos usar uma calculadora, e verificar que:

2¹        =  2

2^1.4     = 2,639015,

2^1.41   = 2,657371,

2¹⁴¹⁴  = 2,664749, ...       = 2,665144...
 

Desta forma obtemos por aproximação de racionais, a potência de aⁿ , com n irracional e a um número real positivo. 

História DOS IRRACIONAIS:

“Filolau, filósofo pitagórico (século IV a.C.) , foi um dos primeiros a escrever sobre os números irracionais. Segundo ele, e outros eruditos que viveram em épocas posteriores aos pitagóricos, os números irracionais foram descobertos por Pitágoras e seus discípulos. A existência de tais números foi deduzida do famoso TRIÂNGULO DE PITÁGORAS. Os pitagóricos perceberam que era impossível escrever o número obtido como razão de dois números inteiros. Na época em que a avassaladora descoberta foi feita, os pitagóricos constituíam uma sociedade bem estabelecida, dedicada ao estudo do poder e do mistério dos números...”

Fonte:  ACZEL, Amir D. O mistério do Alef : A matemática, a cabala e a procura pelo infinito. Editora Globo S.A. , 2003. Titulo original: The mistery of the Aleph

POTÊNCIA COM EXPOENTE REAL.

Até o momento vimos como trabalhar com potências nos conjuntos numéricos dos números naturais, inteiros, racionais e irracionais. Agora veremos um pouco sobre os números reais revendo algumas propriedades através de alguns exercícios. Os números racionais unidos com os irracionais resultam no conjunto dos números reais, pois todo número racional ou irracional é também um número real.

Veja a figura abaixo, onde temos a união dos conjuntos racionais representados pela letra maiúscula Q e os irracionais representados pela letra maiúscula I.

Observe que através da representação do conjunto universo, podemos interpretar  as propriedades vistas nos conteúdos anteriores, que  devem ser mantidas quando trabalhamos no conjunto dos reais. São exemplos de potências com expoentes reais:

Observação: Quando a=0 ou a < 0, algumas potências de base a estão definidas em R, mas outras não. Por exemplo:

Como os números reais são o resultado da união dos números racionais e dos números irracionais, a potência com expoente real será o resultado das definições vistas para estes conjuntos respectivamente. 

Vamos praticar um pouco revisando através de exercícios!    Para conferir seus resultados use as calculadoras do blog.        

Veja os exercícios nos arquivos para downloads. 

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Tópicos do conteúdo:

1 - Potenciação:Histórias e Rimas 
2 - Potência de expoente natural: Introdução.
3 - Potência de expoente inteiro. 
4 - Potências de números Racionais,Irracionais e Reais. 

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Exercícios básicos de potências de números Naturais com gabaritos  

Exercícios básicos de potências de números Inteiros com gabaritos Conteúdo deste artigo em formato PDF (Acrobat Reader)

Exercícios de revisão com gabarito : Download
 

Por enquanto ficaremos por aqui. No próximo artigo vamos descobrir algumas aplicações que envolvem as propriedades do triângulo Aritmético.  

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BIBLIOGRAFIA:

GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Ângela (org). Por trás da porta, que a matemática acontece. Campinas:UNICAMP , 2001.

IMENES, Luiz. ; LELLIS, Marcelo. Matemática. 5^a a 8^a  série . Scipione, 1998.

BIGODE, Antonio José Lopes, 1955 – Matemática hoje é feita assim / Antonio José Lopes Bigode, - São Paulo:FTD, 2000. 5^a série.

GIOVANNI, José Ruy; 1937 – A conquista da matemática – Nova / José Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1998.

IMENES, Luiz. ; LELLIS, Marcelo. Matemática. 5^a a 8^a  série . Scipione, 1998. 

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Curiosidades da Aritmética: Calendários e Potências

 Aritmética de Yakov Perelman

Quem visita o blog regularmente ou assina o Feed do “Matemática na Veia” sabe que pode encontrar aqui muito mais do que a simples matemática do dia-a-dia. Como estamos tratando do tema “Potências” ou “Potenciação”, como queiram, hoje vamos ver algumas curiosidades relacionadas às potenciações e mais alguns segredinhos escondidos nas entrelinhas dos cálculos aritméticos.

Em primeiro lugar, observe atentamente a seguinte operação com as potências.

2 ⁵ × 9 ² = 2592

É muito interessante, pois os números das bases e expoentes das potências que estão sendo multiplicadas são os mesmos dos resultados na mesma ordem posicional. Existem milhares destas coincidências na matemática, ou melhor, em matemática, coincidências realmente não existem, mas sim, características particulares de cada operação embasadas em lemas e demonstrações criteriosas. Neste caso de multiplicação de potências de números naturais. Vamos ver um exemplo mais elaborado, que além de interessante pode ser usado em vários ramos da matemática. 

Vamos usar um exemplo bastante interessante já tratado aqui no blog.

O quadrado mágico do calendário.

Vamos supor que eu lhe peça para escolher nove dias quaisquer de um determinado mês. Podemos usar como exemplo o mês de junho de 2010. Veja que temos nove dias destacados no calendário abaixo:

Mês de Junho de 2010.

Agora vou lhe perguntar qual é a menor data, ou seja, o número de menor valor encontrado entre as nove datas que você escolheu. (É claro, supondo que você tenha escolhido o quadrado 1,2,3,8,9,10,15,16,17 do exemplo dado).No exemplo temos que Terça-Feira, o dia 1º é a menor data, pois corresponde ao número um.  Agora vem o truque que é muito legal.

Vou descobrir o total da soma de todos os valores que estão neste quadrado supostamente escolhido por você. Neste momento você faz cara de espanto dizendo – Não acredito!  Sem mostrar para você, faço minhas contas que na verdade são muito fáceis.

Veja abaixo:

Pego o menor valor que você já me disse. 1, e somo com 8. Que dá o valor 9. Multiplico o valor encontrado por 9 que dá 81.

(1+8).9 =81  . Vamos conferir?

(1+2+3)+(8+9+10)+(15+16+17) = 81

6+27+48=81. Confere!

É fácil e muito divertido testar estes truques da matemática. Vamos ver outro fato interessante com calendários e potências.

No livro Aritmética Recreativa do escritor espanhol Yakov I. Perelman, encontramos muitos destes truques, e um me chamou a atenção por tratar exatamente de calendários e potências. Na verdade é mais uma característica daquelas que citei no começo do artigo.

O Número 365.

É impressionante, principalmente porque ele representa o total de dias do ano. Além disso, a divisão deste número por módulo 7 dá  resto 1.  Por ser um resto tão insignificante, esta propriedade do número 365 adquire grande significado para nosso calendário com sete dias na semana. Outra propriedade interessante do número 365 que está intimamente relacionada ao nosso calendário é:

365= 10.10+11.11+12.12 .É fácil notar que o número 365 é igual a soma dos quadrados dos valores que representam os 3 últimos meses consecutivos, ou seja, 10²+11²12²= 100+121+144=365 .

Também podemos notar que a soma de 13²+14²=365. Podemos encontrar esta propriedade destacada na tela intitulada "problema difícil" do pintor  Bogdánov-Bielsky.

Preste atenção nos números pintados no quadro!

            Figura 2. Vinheta do famoso quadro do artista Nikolai Petrovich BOGDANOV-BELSKY (1868-1945)., intitulado “Um Problema Difícil” . Oral Counting. In the S. A. Rachinsky Public School
1895, Oil on canvas, 107.4x79cm
ⓒ 2008, The State Tretyakov Gallery, Moscow.

Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Nikolay_Bogdanov-Belsky

Descrição: Professor com seus alunos, onde os 11 pupilos tentam resolver o problema dado pelo professor  no quadro negro.

O resultado desta operação é igual a 2. Bom, espero que tenham gostado e até a próxima!

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Tópicos do conteúdo:

Observação: O tópico 4 ainda não estão disponíveis no blog, mas os arquivos podem ser enviados por e-mail.  Caso necessário, peça o seu.

1 - Potenciação:Histórias e Rimas 
2 - Potência de expoente natural: Introdução.
3 - Potência de expoente inteiro.
4 - Potências de números Racionais,Irracionais e Reais.   

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BIBLIOGRAFIA:

Perelman Y. Isidorovich  .  Aritmética Recreativa - Yakov Perelman .

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Potência de expoente inteiro: Introdução.

POTÊNCIA COM EXPOENTE DE NÚMEROS INTEIROS

Vimos no tópico anterior, que trabalhamos somente com números n positivos, pois o conjunto dos números naturais é formado por:

N={ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, ... } .  Agora vamos trabalhar com um novo conjunto, onde poderemos atribuir um significado para à potência aⁿ  , onde a Î R₊, e n Î Z é um número inteiro, que pode ser negativo ou igual à zero, pois:

 Z = { ..., -3, -2, -1,  0,  1,  2,  3,  ...}.

De modo que a propriedade fundamental  da potenciação a^m . aⁿ  = a^m+n deve ser mantida

Vejamos a seguinte igualdade:

a⁰ . a¹  = a⁰⁺¹ =a , logo temos que a⁰ =1 , e (a ≠ 0).

Uma forma prática de entender porque a⁰ = 1 .

Observe a tabela:

2⁴   implica em  2.2.2.2 = 16

2³   implica em     2.2.2 =   8

2²   implica em        2.2 =   4

2¹   implica em           2 =   2

2⁰   implica em              =   1  

( Veja potências especiais no tópico I)

Desta forma, dado qualquer n   Î  N^*  , devemos ter, para a ≠ 0:a^-n . a ⁿ = a^{-n + n} =a⁰ = 1 , portanto  a^-n . a ⁿ =1, ou seja: 

Dado um número real a, não nulo, e um número n natural, chama-se potência de base a, e expoente  -n o número a^-n , que é o inverso de aⁿ , ou seja: 

Vejamos alguns exemplos números inversos:

Observação:   

(-a )^impar   = negativo.

(-a )^par       = positivo.  

Potência de base NEGATIVA, e expoente IMPAR, o resultado é NEGATIVO.

Potência de base NEGATIVA, e expoente PAR, o resultado é POSITIVO.

(  a )^par       = positivo.

(  a )^impar   = positivo. 

Potência de base POSITIVA, e expoente PAR o resultado é sempre POSITIVO.

Se liga! Quando a base é um número negativo, é necessário escrevê-la entre parênteses.

a)  (-2)⁴ = 16   , onde a base é (-2)

Compare os seguintes exemplos:

a)  (-2)⁴ = (-2) . (-2) .(-2) .(-2)  = 16   que é diferente de:

b)  -2⁴ = -(2 . 2 .2 .2)  = -16   que é igual à

c)  -(2)⁴ = -(2 . 2 .2 .2)  = -16   onde a base é (2)

Logo, se a base não apresentar parênteses, o sinal de negativo será aplicado somente após obtermos o resultado da potenciação. O mesmo fato acontece, se a base esta dentro de parênteses, mas existe um sinal negativo antes dela, como nos exemplos a) e b) acima.

Observação: Apartir da validade da definição para potência de expoente inteiro negativo, todas as propriedades válidas para números naturais, também são válidas para quaisquer expoentes m e n inteiros positivos ou negativos.

                                       

  Inverso do número a  ≠ 0 . 

Exercícios resolvidos e explicados:

1. Calcule as potências com expoentes em R.

a) 3⁴     = 3.3.3.3 = 81 

Observe os elementos dados:

A base a=3        O expoente n= 4        Temos 4 fatores, pois n=4 .

Resultado = 81 ,pois  4.4.4.4 = 81 = 3⁴

b)  -3⁴     = - ( 3.3.3.3 ) = - 81 

Observe os elementos dados:

A base a=3     O expoente n= 4     Temos 4 fatores, pois n=4 .

O sinal negativo é carregado depois dos cálculos.

Resultado = - 81 ,pois –( 3.3.3.3) = - 81 = - 3⁴

c)   (-3)⁴     = (-3).(-3).(-3).(-3) = 81 

Observe os elementos dados:

A base a= -3      O expoente n= 4        Temos 4 fatores, pois n=4 .

Resultado = 81 ,pois (-3).(-3).(-3).(-3)  = 81 = (-3)⁴ 

Agora é a sua vez!

Exercícios propostos: Calcular o valor das potências.

 1       -     a ) (+2)²            b) 2²           c)  -2²         d)  -(2)²              e ) –(-2)²  

 2       -     a ) (+3)²            b) 3²           c)  -3²         d)  -(3)²              e ) –(-3)² 

 3       -     a ) (+4)²            b) 4²           c)  -4²         d)  -(4)²              e ) –(-4)² 

 4       -     a ) (+2)³            b) 2³           c)  -2³          d)  -(2)³             e ) –(-2)³ 

 5       -     a ) (+3)³            b) 3³           c)  -3³          d)  -(3)³             e ) –(-3)³ 

 6       -     a ) (+4)³            b) 4³           c)  -4³          d)  -(4)³             e ) –(-4)³ 

 7       -     a ) (+a)²            b) a²           c)  -a²          d)  -(a)²             e ) –(-a)² 

 8       -     a ) (+2)^-2           b) 2^-2          c)  -2^-2         d)  -(2) ^-2          e ) –(-2) ^-2  

 9       -     a ) (+2)^-3           b) 2^-3          c)  -2^-3         d)  -(2) ^-3          e ) –(-2) ^-3  

10      -     a ) (+a)^-1           b) a^-1           c)  -a^-1        d)  -(a) ^-1          e ) –(-a) ^-1  

Calcule o valor das operações com as potências
 

Para conferir seus resultados use a calculadora de potências abaixo. Para frações você pode usar decimais. Ex: 1/2 = 0,5     1/3=0,333...   3/5=0,6. Para usar expoentes negativos o procedimento é normal. 

Cálculadora  de potências de números inteiros.

Base  :	Expoente :
Resultado da operação :

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Tópicos do conteúdo:

Observação: Os tópicos 3 e 4 ainda não estão disponíveis no blog, mas os arquivos podem ser enviados por e-mail.  Caso necessário, peça o seu.

1 - Potenciação:Histórias e Rimas 
2 - Potência de expoente natural: Introdução.
3 - Potência de expoente inteiro.
4 - Potências de números Racionais,Irracionais e Reais.   

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Exercícios básicos de potências de números Naturais com gabaritos  

Exercícios básicos de potências de números Inteiros com gabaritos 

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PRÓXIMO TÓPICO: POTÊNCIAS DE NÚMEROS RACIONAIS,IRRACIONAIS,REAIS. 

Por enquanto ficaremos por aqui. No próximo artigo vamos descobrir algumas aplicações que envolvem as propriedades do triângulo Aritmético. 

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BIBLIOGRAFIA:

GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Ângela (org). Por trás da porta, que a matemática acontece. Campinas:UNICAMP , 2001.

IMENES, Luiz. ; LELLIS, Marcelo. Matemática. 5^a a 8^a  série . Scipione, 1998.

BIGODE, Antonio José Lopes, 1955 – Matemática hoje é feita assim / Antonio José Lopes Bigode, - São Paulo:FTD, 2000. 5^a série.

GIOVANNI, José Ruy; 1937 – A conquista da matemática – Nova / José Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1998.

IMENES, Luiz. ; LELLIS, Marcelo. Matemática. 5^a a 8^a  série . Scipione, 1998.

Leia Mais Sobre "Potência de expoente inteiro: Introdução."

Potência de expoente natural: Introdução.

Determinação de potência:

Sabemos que ao somarmos parcelas iguais, estamos de fato, fazendo multiplicações. Assim podemos concluir que a determinação da potência de um número é feita pela multiplicação de fatores iguais. Consideremos os seguintes exemplos com produtos de fatores iguais:

Exemplos:

1º exemplo: 

Termos da potenciação:

Base=2

Expoente = 4

Potência = 16 [Resultado da operação]

Lê-se: Dois elevado à quarta potência.

2º exemplo: 

5³ = 5.5.5= 125 (3 fatores iguais)

Termos da potenciação:

Base=5

Expoente = 3

Potência = 125 [Resultado da operação]

Lê-se: Cinco elevado à terceira potência.

3º exemplo: 

3⁵ = 3.3.3.3.3 (5 fatores iguais)

Este produto de 5 fatores iguais ao número 3 pode ser expresso da seguinte forma 3⁵, onde 3 é chamado de base e indica o fator que está sendo repetido, e 5 é chamado de expoente e indica a quantidade desses fatores, e lido da seguinte maneira:

3 elevado à 5^a potência, ou a 5^a potência de 3. Então: 3.3.3.3.3=3⁵

Termos da potenciação:

Base=3

Expoente = 5

Potência = 243 [Resultado da operação]

Explicando algumas propriedades.

A potenciação além de economizar nosso trabalho para calcular grandes números, também economiza na escrita.

Vamos ver os seguintes exemplos para entender melhor:

1^º ) Produto de potências de mesma base.

Note que é necessário escrever muitas vezes o número 1 para determinar a potência de 1¹⁵ .

Esta foi fácil, pois sabemos das definições que 1ⁿ=1

(3.3.3).(3.3).(3.3)=3³. 3². 3² =3³⁺²⁺²=3⁷=2187

(3.3.3)=3³

(3.3)= 3²

(3.3)= 3²

Note que 3⁷= (3.3.3.3.3.3.3) =2187

Três elevado à sétima potência.

Para escrever o produto de potências de mesma base, mantemos a base e somamos os expoentes

2^º ) Potência de potência.

(2²)³ = 2² . 2² . 2² = 2²⁺²⁺²= 2⁶ = 64

(2²)⁴ = 2² . 2² . 2² . 2² = 2^2+2+2+2= 2⁸ = 256

Para escrever a potência elevada a outro expoente, mantém-se a base e multiplicam-se os expoentes.

3^º ) Quociente de potências de mesma base.

         Sem utilizar dessa propriedade, o cálculo do quociente com potência 128 ÷ 126 ficaria da seguinte forma:

12⁸ ÷12⁶ = 429981696 : 2985984 = 144

Utilizando a propriedade do quociente de mesma base, a resolução ficaria mais simplificada. Veja como nessa divisão as bases são iguais, basta repetir a base e diminuir os expoentes.

12⁸ ÷ 12⁶ = 12^{8 – 6} = 12² = 144

(-5)⁶ ÷ (-5)² = (-5)^{6 – 2} = (-5)⁴ = 625

Para escrever o quociente de potências de mesma base, mantemos a base e subtraímos os expoentes.

Observação: Quociente significa o resultado de uma divisão

NÚMEROS NATURAIS:

DEFINIÇÕES:

Sejam  a Î R positivo e n Î N

Também podemos definir da seguinte forma:

Dados um número real positivo a e um número natural n diferente de zero, chama-se potência de base a e expoente n o número aⁿ  que é igual ao produto de n fatores iguais ao número a.

D₁ )  aⁿ  = a.a.a.a. ... .a (n vezes), n > 1, onde:  aⁿ = a.a^n-1

Da definição anterior decorre que:

D₂ )  a¹ = a   , (a ≠ 0)

 Todo número natural elevado a 1 é igual a ele mesmo, pois não existe produto apenas com um único fator.

D₃ )  a⁰ = 1   , (a ≠ 0)

Todo número natural, diferente de zero, elevado a zero é igual a 1.

PotÊncias especiais:

1ⁿ = 1  e  0ⁿ =0 para qualquer que seja o valor de n , pois

aⁿ  = a.a.a.a. ... .a (n vezes), n > 1 Þ  1.1.1. ... .1 = 1 e

aⁿ  = a.a.a.a. ... .a (n vezes), n > 1 Þ  0.0.0. ... .0 = 0.

Propriedades relativas às potências de mesma base:

Considerando que a base é um número real “a” positivo e o expoente é um número natural “n”, temos que:

Sejam m,n Î N*  e a,b Î R* positivo então:

N₁ )  aⁿ .a^m = a^n+m    . Intuitivamente é fácil observar que:

Chamamos esta propriedade de “Propriedade fundamental”: Multiplicação de potências de mesma  base.

N₂ )  aⁿ ÷ a^m = a^n-m   ( a ≠ 0 , n … m )         

N₄ ) ( a.b )ⁿ = aⁿ .bⁿ

         

         As propriedades das potências de números naturais também podem ser estendidas para o conjunto dos números inteiros. Veja os exemplos:

EXEMPLOS PRÁTICOS:

a)             3⁰ = 1

b)             5⁰ = 1

c)             2⁰ = 1

d)            56⁰ = 1

e)            5¹ = 5

f)             3¹ = 3

g)            5² = 5.5 = 25

h)            5³ = 5.5.5 = 125

i)             5⁴ = 5.5.5.5 = 625

j)             5⁵ = 5.5.5.5.5= 3125

k)            3² = 9

l)             19⁰ = 1

m)          19¹ = 19

n)           19² = 361

o)           0¹ = 0

p)           0² = 0.0 = 0

         q)           0³ = 0.0.0= 0

         r)            0⁴ = 0.0.0.0 = 0

         s)           0⁵ = 0.0.0.0.0 = 0

         t)            151¹ = 151

         u)           1⁷ = 1.1.1.1.1.1.1=1

         v)           

         w)           3² . 3³ = 9.27=243

x)           3² . 3³ = (3.3) .(3.3.3) = 3⁵ = 3²⁺³  = 243

y)          

          z)           (2²)³=(2.2)³=4³=64

Potência com expoente inteiro.

exemplo de sequências de potências:

Os matemáticos tiveram várias razões para introduzir essas definições. Por exemplo, a multiplicação de padrões:

Note que ao dividirmos 81 por 3 temos como resultado 27, e da mesma forma ao dividirmos 27 por 3 obtemos como resultado 9, logo concluímos que, a cada divisão os expoentes diminuem sempre uma unidade. O quociente entre os valores sucessivos das potências é constante e igual a 3.

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Tópicos do conteúdo:

Observação: Os tópicos 3 e 4 ainda não estão disponíveis no blog, mas os arquivos podem ser enviados por e-mail.  Caso necessário, peça o seu.

1 - Potenciação:Histórias e Rimas 
2 - Potência de expoente natural: Introdução.
3 - Potência de expoente inteiro.

4 - Potências de números Racionais,Irracionais e Reais.   

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Exercícios básicos de potências de números naturais com gabaritos 

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PRÓXIMO TÓPICO: Potência com expoente inteiro

Por enquanto ficaremos por aqui. No próximo artigo vamos descobrir algumas aplicações que envolvem as propriedades do triângulo Aritmético. 

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 BIBLIOGRAFIA:

GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Ângela (org). Por trás da porta, que a matemática acontece. Campinas:UNICAMP , 2001.

IMENES, Luiz. ; LELLIS, Marcelo. Matemática. 5^a a 8^a  série . Scipione, 1998.

BIGODE, Antonio José Lopes, 1955 – Matemática hoje é feita assim / Antonio José Lopes Bigode, - São Paulo:FTD, 2000. 5^a série.

GIOVANNI, José Ruy; 1937 – A conquista da matemática – Nova / José Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1998.

IMENES, Luiz. ; LELLIS, Marcelo. Matemática. 5^a a 8^a  série . Scipione, 1998.

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