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Potência de expoente inteiro: Introdução.

[♀]Matemática na Veia 2007-2016 O Blog do Estudante Inteligente

Relatos de erros e correções em relação ao português serão bem vindos e podem ser esclarecidos através do RH - Sugestões e Reclamações.

POTÊNCIA COM EXPOENTE DE NÚMEROS INTEIROS


quadro negro do teaser potenciação


Vimos no tópico anterior, que trabalhamos somente com números n positivos, pois o conjunto dos números naturais é formado por:
N={ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, ... } .  Agora vamos trabalhar com um novo conjunto, onde poderemos atribuir um significado para à potência an  , onde a Î R+, e n Î Z é um número inteiro, que pode ser negativo ou igual à zero, pois:
 Z = { ..., -3, -2, -1,  0,  1,  2,  3,  ...}.
De modo que a propriedade fundamental  da potenciação am . an  = am+n deve ser mantida

Vejamos a seguinte igualdade:
a0 . a1  = a0+1 =a , logo temos que a0 =1 , e (a ≠ 0).

Uma forma prática de entender porque a0 = 1 .
Observe a tabela:
24   implica em  2.2.2.2 = 16
23   implica em     2.2.2 =   8
22   implica em        2.2 =   4
21   implica em           2 =   2
20   implica em              =   1  

( Veja potências especiais no tópico I)

Desta forma, dado qualquer n   Î  N*  , devemos ter, para a ≠ 0:a-n . a n = a-n + n =a0 = 1 , portanto  a-n . a n =1, ou seja:  definição fórmula do número inverso
Dado um número real a, não nulo, e um número n natural, chama-se potência de base a, e expoente  -n o número a-n , que é o inverso de an , ou seja:  definição fórmula do número inverso de potência

Vejamos alguns exemplos números inversos:

exercícios de potências de números fracionários

Observação:   
(-a )impar   = negativo.
(-a )par       = positivo.  
Potência de base NEGATIVA, e expoente IMPAR, o resultado é NEGATIVO.
Potência de base NEGATIVA, e expoente PAR, o resultado é POSITIVO.
(  a )par       = positivo.
(  a )impar   = positivo. 
Potência de base POSITIVA, e expoente PAR o resultado é sempre POSITIVO.

Se liga! Quando a base é um número negativo, é necessário escrevê-la entre parênteses.

a)  (-2)4 = 16   , onde a base é (-2)

Compare os seguintes exemplos:

a)  (-2)4 = (-2) . (-2) .(-2) .(-2)  = 16   que é diferente de:
b)  -24 = -(2 . 2 .2 .2)  = -16   que é igual à
c)  -(2)4 = -(2 . 2 .2 .2)  = -16   onde a base é (2)

Logo, se a base não apresentar parênteses, o sinal de negativo será aplicado somente após obtermos o resultado da potenciação. O mesmo fato acontece, se a base esta dentro de parênteses, mas existe um sinal negativo antes dela, como nos exemplos a) e b) acima.

Observação: Apartir da validade da definição para potência de expoente inteiro negativo, todas as propriedades válidas para números naturais, também são válidas para quaisquer expoentes m e n inteiros positivos ou negativos.
                                       
  Inverso do número a  ≠ 0 . 

exemplos dos inversos das potências de números fracionários


Exercícios resolvidos e explicados:

  1. Calcule as potências com expoentes em R.
a) 34     = 3.3.3.3 = 81 

Observe os elementos dados:

A base a=3        O expoente n= 4        Temos 4 fatores, pois n=4 .
Resultado = 81 ,pois  4.4.4.4 = 81 = 34

b)  -34     = - ( 3.3.3.3 ) = - 81 

Observe os elementos dados:

A base a=3     O expoente n= 4     Temos 4 fatores, pois n=4 .

O sinal negativo é carregado depois dos cálculos.

Resultado = - 81 ,pois –( 3.3.3.3) = - 81 = - 34

c)   (-3)4     = (-3).(-3).(-3).(-3) = 81 

Observe os elementos dados:
A base a= -3      O expoente n= 4        Temos 4 fatores, pois n=4 .
Resultado = 81 ,pois (-3).(-3).(-3).(-3)  = 81 = (-3)
exemplo de potência de expoentes negativos

Agora é a sua vez!


Exercícios propostos: Calcular o valor das potências.

 1       -     a ) (+2)           b) 2          c)  -2        d)  -(2)             e ) –(-2) 

 2       -     a ) (+3)           b) 3          c)  -3        d)  -(3)             e ) –(-3)

 3       -     a ) (+4)           b) 4          c)  -42         d)  -(4)             e ) –(-4)

 4       -     a ) (+2)           b) 2          c)  -2         d)  -(2)            e ) –(-2)

 5       -     a ) (+3)           b) 3          c)  -3         d)  -(3)            e ) –(-3)

 6       -     a ) (+4)           b) 4          c)  -4         d)  -(4)            e ) –(-4)

 7       -     a ) (+a)           b) a          c)  -a         d)  -(a)            e ) –(-a)

 8       -     a ) (+2)-2           b) 2-2          c)  -2-2         d)  -(2) -2          e ) –(-2) -2  

 9       -     a ) (+2)-3           b) 2-3          c)  -2-3         d)  -(2) -3          e ) –(-2) -3  

10      -     a ) (+a)-1           b) a-1           c)  -a-1        d)  -(a) -1          e ) –(-a) -1  


exercícios de potências de números inteiros


Calcule o valor das operações com as potências
 

exercícios de potências de expoentes de números inteiros positivos e negativos



Para conferir seus resultados use a calculadora de potências abaixo. Para frações você pode usar decimais. Ex: 1/2 = 0,5     1/3=0,333...   3/5=0,6. Para usar expoentes negativos o procedimento é normal. 


Cálculadora  de potências de números inteiros.

    Base  :   
    Expoente :   
    Resultado da operação :     



IR PARA O CONTEÚDO  POTENCIAÇÃO
Tópicos do conteúdo:

Observação: Os tópicos 3 e 4 ainda não estão disponíveis no blog, mas os arquivos podem ser enviados por e-mail.  Caso necessário, peça o seu.

1 - Potenciação:Histórias e Rimas 
2 - Potência de expoente natural: Introdução.
3 - Potência de expoente inteiro.
4 - Potências de números Racionais,Irracionais e Reais.   

PRÓXIMO TÓPICO: POTÊNCIAS DE NÚMEROS RACIONAIS,IRRACIONAIS,REAIS. 

Por enquanto ficaremos por aqui. No próximo artigo vamos descobrir algumas aplicações que envolvem as propriedades do triângulo Aritmético. 
Se você é aluno, professor, ou simplesmente um apaixonado pela matemática, e gostaria de cooperar com dicas, indicar algum blog legal de matemática, ou que seja relacionado à educação, programas legais que conhece, artigos, trabalhos de escola. Mande um e-mail para caco36@ibest.com.br,ou comente aqui mesmo. Agradeço sua cooperação, comentários, dicas, críticas e  sugestões.

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BIBLIOGRAFIA:
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Ângela (org). Por trás da porta, que a matemática acontece. Campinas:UNICAMP , 2001.
IMENES, Luiz. ; LELLIS, Marcelo. Matemática. 5a a 8a  série . Scipione, 1998.
BIGODE, Antonio José Lopes, 1955 – Matemática hoje é feita assim / Antonio José Lopes Bigode, - São Paulo:FTD, 2000. 5a série.
GIOVANNI, José Ruy; 1937 – A conquista da matemática – Nova / José Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1998.
IMENES, Luiz. ; LELLIS, Marcelo. Matemática. 5a a 8a  série . Scipione, 1998.

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Antonio Sobre a Autor:
Antonio Blogueiro desde 2007, gaúcho, gosta muito de ler, e é totalmente viciado em internet. Comecei blogar em 2005, e criei o Matemática na Veia no inicio de 2007. Sou formado em licenciatura Plena em Matemática pela UFPEL. Servidor Público,e fanático pela Web.
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39 Comentários:

  1. Obrigado Manoel! Faço o possível para manter a qualidade do conteúdo, sempre buscando as melhores referências. Dá trabalho, mas quando recebemos elogios tudo isso compensa. Um abraço, e volte sempre!

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  2. Nice =D

    Aprendi muito revendo esses conteúdos!

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  3. Sua explicação foi excelente para eu esclarecer minhas dúvidas, obrigada pela sua ajuda.
    Abraços, Flaviana.

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  4. Obrigado pela sua participação aqui no blog Flaviana! Volte sempre que tiver dúvidas ou fazer uma visita. Abraços!

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  5.  Valeu Nice! Volte sempre que precisar!

    ResponderExcluir
  6. Gostei muito dos exercicios e exemplos

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  7. gnt eu to precisando muito de ajuda, minha nova professora de matematica não explica ela apenas escreve as coisas no quadro negro, e eu não consigo entender, aqui vai um dos exercicios que ela passou:
     3-¹   
    ----- =
    2-³

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  8.  Tudo bem Menininha? Posso ajudar no que for possível!  Isto com certeza é uma fração de potências com expoentes negativos. 

    Veja que  3-¹ =    1/3¹ = 1/3         e      
      1  
      ----- =  2³    
      2-³
      
    Desta forma seu exemplo ficaria assim:             2³ .  1/3      = 8/3    

    Espero ter ajudado... Um abraço!          

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    1. Ola tudo bem estou no nono ano n entendo nada que o meu prof de algebra diz como esta aqui (-2)elevado a 2 potencia vezes (-2)elevado a 3 potencia

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  9. Gostei muito das explicaçãoes otimas aprendi mais que na escola pois o professor explica muito rapido aonde muitas pessoas assim como eu tem muita dificuldades de aprender obrigado!

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  10. Eu gostei muito desse site.. tomara que vc tenha muito sucesso. kk

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  11. eu queria saber como q eu resolvo uma façao com parenteses sem expoente

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  12. As potências de divisão de frações, mantêm a base? e soma as potencias de acordo com a regra dos sinais?

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  13. exemplo o último exercício 5 a,b e c

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  14. Por favor, calcula mmc? ou só subtrai os denominadores?

    Ou, só somaria as potencias que daria o resultado, seria mais fácil assim!

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  15. pode ser YURIULRYCH! so que é uma divisão. logo

    (-2/5)^3 / (-2/5)^2 " divisão de bases iguais"

    Vou passar o denominador para cima multipplicando.

    Note que o expoente fica negativo.

    (-2/5)^3 . (-2/5)^-2 " agora ficou uma multiplicação"

    LOGO "As potências de divisão de frações, mantêm a base? e soma as potencias de acordo com a regra dos sinais?"

    (-2/5)^3 . (-2/5)^-2 => (-2/5) ^ 3+(-2) => (-2/5) ^1

    => -2/5

    MULTIPLICAÇÃO DE POTENCIA DE MESMA BASE :

    SOMA OS EXPOENTES E CONSERVA A BASE

    MULTIPLICAÇÃO DE POTENCIA DE MESMA BASE :

    SUBTRAI OS EXPOENTES E CONSERVA A BASE

    É claro que eu passei de divisão para multiplicação o exercicio, pois é mais facil somar do que subtrair e já dei uma encrementada na explicação. Ok!

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  16. gostei e melhor toque a explicacao que o professor da na escola!

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  17. essa calculadora de potencias de numeros inteiros não funciona muito bem, fui ver se o que eu tinha feito estava certo, então calculei 3,1², 2,5³ (isso retirei do meu livro de mat.) o resultado que ela ela da é NaN, não entendi muito bem o que essas siglas querem dizer, mas espero que alguem me ajude, bjs adorei a explicação :3

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  28. (-2) elevado a 2 potencia vezes (-2)elevado a 3 potencial

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  29. Então, pode ser uma pergunta idiota, mas eu tenho muita dificuldade de lembrar, e por conta disso, eu esqueci como se coloca na potência, um exemplo:
    0,0000000016... Como faço pra colocar na potência?

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  30. Excelente conteúdo para estudo, parabéns pelo trabalho.

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  31. aMEI A EXPLICAÇÃO , TIROU MINHAS DÚVIDAS, VOU PEDIR POR E-MAIL OS TÓPICOS 3 E 4, PRECISO MUITO.

    GRATA

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