Potência de expoente natural: Introdução.

Determinação de potência:

Sabemos que ao somarmos parcelas iguais, estamos de fato, fazendo multiplicações. Assim podemos concluir que a determinação da potência de um número é feita pela multiplicação de fatores iguais. Consideremos os seguintes exemplos com produtos de fatores iguais:

Exemplos:

1º exemplo: 

Termos da potenciação:

Base=2

Expoente = 4

Potência = 16 [Resultado da operação]

Lê-se: Dois elevado à quarta potência.

2º exemplo: 

5³ = 5.5.5= 125 (3 fatores iguais)

Termos da potenciação:

Base=5

Expoente = 3

Potência = 125 [Resultado da operação]

Lê-se: Cinco elevado à terceira potência.

3º exemplo: 

3⁵ = 3.3.3.3.3 (5 fatores iguais)

Este produto de 5 fatores iguais ao número 3 pode ser expresso da seguinte forma 3⁵, onde 3 é chamado de base e indica o fator que está sendo repetido, e 5 é chamado de expoente e indica a quantidade desses fatores, e lido da seguinte maneira:

3 elevado à 5^a potência, ou a 5^a potência de 3. Então: 3.3.3.3.3=3⁵

Termos da potenciação:

Base=3

Expoente = 5

Potência = 243 [Resultado da operação]

Explicando algumas propriedades.

A potenciação além de economizar nosso trabalho para calcular grandes números, também economiza na escrita.

Vamos ver os seguintes exemplos para entender melhor:

1^º ) Produto de potências de mesma base.

Note que é necessário escrever muitas vezes o número 1 para determinar a potência de 1¹⁵ .

Esta foi fácil, pois sabemos das definições que 1ⁿ=1

(3.3.3).(3.3).(3.3)=3³. 3². 3² =3³⁺²⁺²=3⁷=2187

(3.3.3)=3³

(3.3)= 3²

(3.3)= 3²

Note que 3⁷= (3.3.3.3.3.3.3) =2187

Três elevado à sétima potência.

Para escrever o produto de potências de mesma base, mantemos a base e somamos os expoentes

2^º ) Potência de potência.

(2²)³ = 2² . 2² . 2² = 2²⁺²⁺²= 2⁶ = 64

(2²)⁴ = 2² . 2² . 2² . 2² = 2^2+2+2+2= 2⁸ = 256

Para escrever a potência elevada a outro expoente, mantém-se a base e multiplicam-se os expoentes.

3^º ) Quociente de potências de mesma base.

         Sem utilizar dessa propriedade, o cálculo do quociente com potência 128 ÷ 126 ficaria da seguinte forma:

12⁸ ÷12⁶ = 429981696 : 2985984 = 144

Utilizando a propriedade do quociente de mesma base, a resolução ficaria mais simplificada. Veja como nessa divisão as bases são iguais, basta repetir a base e diminuir os expoentes.

12⁸ ÷ 12⁶ = 12^{8 – 6} = 12² = 144

(-5)⁶ ÷ (-5)² = (-5)^{6 – 2} = (-5)⁴ = 625

Para escrever o quociente de potências de mesma base, mantemos a base e subtraímos os expoentes.

Observação: Quociente significa o resultado de uma divisão

NÚMEROS NATURAIS:

DEFINIÇÕES:

Sejam  a Î R positivo e n Î N

Também podemos definir da seguinte forma:

Dados um número real positivo a e um número natural n diferente de zero, chama-se potência de base a e expoente n o número aⁿ  que é igual ao produto de n fatores iguais ao número a.

D₁ )  aⁿ  = a.a.a.a. ... .a (n vezes), n > 1, onde:  aⁿ = a.a^n-1

Da definição anterior decorre que:

D₂ )  a¹ = a   , (a ≠ 0)

 Todo número natural elevado a 1 é igual a ele mesmo, pois não existe produto apenas com um único fator.

D₃ )  a⁰ = 1   , (a ≠ 0)

Todo número natural, diferente de zero, elevado a zero é igual a 1.

PotÊncias especiais:

1ⁿ = 1  e  0ⁿ =0 para qualquer que seja o valor de n , pois

aⁿ  = a.a.a.a. ... .a (n vezes), n > 1 Þ  1.1.1. ... .1 = 1 e

aⁿ  = a.a.a.a. ... .a (n vezes), n > 1 Þ  0.0.0. ... .0 = 0.

Propriedades relativas às potências de mesma base:

Considerando que a base é um número real “a” positivo e o expoente é um número natural “n”, temos que:

Sejam m,n Î N*  e a,b Î R* positivo então:

N₁ )  aⁿ .a^m = a^n+m    . Intuitivamente é fácil observar que:

Chamamos esta propriedade de “Propriedade fundamental”: Multiplicação de potências de mesma  base.

N₂ )  aⁿ ÷ a^m = a^n-m   ( a ≠ 0 , n … m )         

N₄ ) ( a.b )ⁿ = aⁿ .bⁿ

         

         As propriedades das potências de números naturais também podem ser estendidas para o conjunto dos números inteiros. Veja os exemplos:

EXEMPLOS PRÁTICOS:

a)             3⁰ = 1

b)             5⁰ = 1

c)             2⁰ = 1

d)            56⁰ = 1

e)            5¹ = 5

f)             3¹ = 3

g)            5² = 5.5 = 25

h)            5³ = 5.5.5 = 125

i)             5⁴ = 5.5.5.5 = 625

j)             5⁵ = 5.5.5.5.5= 3125

k)            3² = 9

l)             19⁰ = 1

m)          19¹ = 19

n)           19² = 361

o)           0¹ = 0

p)           0² = 0.0 = 0

         q)           0³ = 0.0.0= 0

         r)            0⁴ = 0.0.0.0 = 0

         s)           0⁵ = 0.0.0.0.0 = 0

         t)            151¹ = 151

         u)           1⁷ = 1.1.1.1.1.1.1=1

         v)           

         w)           3² . 3³ = 9.27=243

x)           3² . 3³ = (3.3) .(3.3.3) = 3⁵ = 3²⁺³  = 243

y)          

          z)           (2²)³=(2.2)³=4³=64

Potência com expoente inteiro.

exemplo de sequências de potências:

Os matemáticos tiveram várias razões para introduzir essas definições. Por exemplo, a multiplicação de padrões:

Note que ao dividirmos 81 por 3 temos como resultado 27, e da mesma forma ao dividirmos 27 por 3 obtemos como resultado 9, logo concluímos que, a cada divisão os expoentes diminuem sempre uma unidade. O quociente entre os valores sucessivos das potências é constante e igual a 3.

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Tópicos do conteúdo:

Observação: Os tópicos 3 e 4 ainda não estão disponíveis no blog, mas os arquivos podem ser enviados por e-mail.  Caso necessário, peça o seu.

1 - Potenciação:Histórias e Rimas 
2 - Potência de expoente natural: Introdução.
3 - Potência de expoente inteiro.

4 - Potências de números Racionais,Irracionais e Reais.   

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Exercícios básicos de potências de números naturais com gabaritos 

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PRÓXIMO TÓPICO: Potência com expoente inteiro

Por enquanto ficaremos por aqui. No próximo artigo vamos descobrir algumas aplicações que envolvem as propriedades do triângulo Aritmético. 

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 BIBLIOGRAFIA:

GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Ângela (org). Por trás da porta, que a matemática acontece. Campinas:UNICAMP , 2001.

IMENES, Luiz. ; LELLIS, Marcelo. Matemática. 5^a a 8^a  série . Scipione, 1998.

BIGODE, Antonio José Lopes, 1955 – Matemática hoje é feita assim / Antonio José Lopes Bigode, - São Paulo:FTD, 2000. 5^a série.

GIOVANNI, José Ruy; 1937 – A conquista da matemática – Nova / José Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1998.

IMENES, Luiz. ; LELLIS, Marcelo. Matemática. 5^a a 8^a  série . Scipione, 1998.