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A história do Triângulo Aritmético - Parte I

[♀]Matemática na Veia 2007-2016 O Blog do Estudante Inteligente

Relatos de erros e correções em relação ao português serão bem vindos e podem ser esclarecidos através do RH - Sugestões e Reclamações.

Triângulo aritmético:
Um triângulo com múltiplas personalidades.

quadro_negro_triângulo_pascal



Antes de passar definitivamente para o conteúdo de probabilidades, que é o seguimento da análise combinatória nos conteúdos programáticos do ensino médio, vamos tratar de um tema muito interessante, o Triângulo Aritmético. Sempre que é possível, eu gosto de começar um conteúdo novo com uma história relacionada ao tema em questão. Na verdade, o que pretendo apresentar neste artigo, é muito mais do que uma simples história, é uma verdadeira “Epopéia Matemática”, que se desenrolou por pelo menos 2500 anos em vários cenários diferentes.

Para os apaixonados pela matemática, e até para quem não vê a matemática com bons olhos é um prato cheio, pois esta história é ligada a temas muito interessantes, que certamente irão envolvê-lo. Então vamos começar nossa epopéia com uma pergunta bem simples e direta.

Você conhece bem o Triângulo Aritmético? Talvez você não conheça nenhum triângulo com este nome, mas em compensação, já tenha trabalhado com o “Triângulo de Pascal”, ou talvez conheça um pouco do “Triângulo Combinatório”, do “Triângulo de Tartaglia” ou até mesmo do “Triângulo de Yang-Hui". Ficou confuso? Na verdade, todos estes nomes citados anteriormente, se referem ao mesmo triângulo, estudado e aperfeiçoado através dos séculos, por vários matemáticos, ou melhor, foram estudadas as mesmas propriedades matemáticas, variando de acordo com o matemático, origem e época.

Veja que, além das obras atuais, existem referências ao Triângulo Aritmético e suas propriedades, que podem ser encontradas rudimentarmente em obras antigas escritas por matemáticos indianos e chineses. Também encontramos alguns indícios superficiais destas propriedades em algumas obras hebraicas, escritas em épocas anteriores a Jesus Cristo. Esta constatação significa que nosso personagem principal é bastante antigo. Podemos citar entre estas obras, a de Pingala (pigalá), um antigo matemático indiano, famoso por um dos seus trabalhos, o Chandas shastra (chanda-śāstra, ou Chandas sutra chanda-sūtra), provavelmente, um tratado sânscrito sobre prosódia, (do grego προσωδία), que é considerado parte do Vedanga, ou seja, os “órgãos dos Vedas”.

Pingala viveu em aproximadamente 200 aC., ou seja, mais ou menos 1800 anos antes do matemático Blaise Pascal. (Clermont-Ferrand, 19 de Junho de 1623 - Paris, 19 de Agosto de 1662). Observe que este é um dos primeiros indícios de que não foi Blaise Pascal o autor do triângulo que leva seu nome. Já vimos que o triângulo aritmético é bastante antigo, e você também verá que podemos considerar o triângulo estudado por Pingala praticamente o mesmo encontrado nos livros didáticos atuais do Brasil, ou seja, é idêntico ao Triângulo de Pascal.

Aliás, sabemos que tudo que está relacionado à matemática exige muito estudo, e um processo cansativo de investigação que pode levar séculos. Este processo envolve não um, mas vários matemáticos, tornando desta forma, o trabalho dos historiadores uma tarefa difícil, cansativa, mas ao mesmo tempo bastante recompensadora, principalmente quando se trata de especificar a verdadeira autoria de uma grande descoberta matemática, como é o caso do nosso principal personagem, o Triângulo Aritmético.

No entanto, veremos posteriormente que Pingala também não foi o primeiro a estudar as propriedades relacionadas ao Triângulo Aritmético, pois mesmo antes dele, já existiam antigas obras com algumas regras (Sutras) para o cálculo de combinatória e arranjos.
Pingala apresenta em sua obra, a primeira descrição conhecida de um sistema numérico binário. O envolvimento de Pingala com o triângulo aritmético foi conseqüência dos seus estudos sobre as versificação das métricas musicais. Na verdade, ele observou que as expansões sucessivas das métricas musicais, de uma, duas, três, ou várias sílabas podiam ser dispostas sob a forma de um padrão numérico triangular que corresponde ao triângulo aritmético, o qual denominou Meru-prastara, em homenagem ao sagrado Monte Meru na Índia.

Para ficar mais claro a passagem anterior, observemos um exemplo numérico:

Para calcular as combinações das três sílabas ba, be, bi, Pingala observava  a quarta linha do Meru-prastara que é composta pelos seguintes valores: 
1 3 3 1, e então concluía:

3 combinações de uma sílaba: {ba, be, bi}
3 combinações de duas sílabas: {babe, babi, bebi}
1 combinação de três sílabas: {babebi}

Para construir o Meru-prastara, Pingala descreve a seguinte regra:

"Desenhe um quadrado; abaixo dele desenho dois outros, de modo que se juntem no ponto médio da base dele; ou seja, no meio da base, abaixo desses dois, desenhe três e assim sucessivamente. A seguir, escreva “um” no primeiro quadrado e também nos quadrados da segunda linha. Na terceira linha escreva “um” nos quadrados dos extremos, e no meio escreva a soma dos números acima dele.
Prossiga fazendo o mesmo nas outras linhas. Nessas linhas, a segunda dá as combinações com uma sílaba; a terceira dá as combinações com duas sílabas e assim por diante."
O procedimento desta regra pode ser visto na imagem abaixo:
triângulo_pascal_meru-prastara_pingala

Já sabemos que existem diversas formas de representar o Triângulo Aritmético, mas uma das que acho mais produtiva, é quando os valores são deslocados para o lado, ficando na forma de um Triângulo Retângulo.
Através desta representação as sequências dos números naturais, triangulares, etc., são mais visíveis. 

Desta forma podemos visualizar a sequência dos números naturais na segunda coluna, triangulares na terceira, e assim por diante.

  tabela_triângulo_pascal_retângulo
Figura 2: Detalhes do Triângulo Aritmético 


Na imagem abaixo você pode observar as sequências dos números naturais, triangulares, e outras:

 triângulo_aritmético_numero_fibonacci_soma_diagonal
Figura 3: Triângulo destacando os números de Fibonacci.

Veja também, que podemos encontrar os números de Fibonacci no Triângulo Aritmético.
Observe as diagonais do triângulo acima onde encontramos os seguintes valores:
 {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...}.
Não serão tratados detalhes sobre os números de Fibonacci, mas caso você fique interessado pelo tema, acesse o endereço Números de Fibonacci

É fácil ver que as somas das diagonais realmente são os números de Fibonacci

 soma_números_fibonacci_triângulo_tartaglia 
Figura 4:Triângulo destacando as somas das sequências.


Na diagonal verde a soma é 5;
Na diagonal azul a soma é 8;
Na diagonal vermelha a soma é 13.


Séculos depois da morte do matemático Pingala, encontramos nainda na obra "Mtasañjīvanī" do matemático Halayudha, o Meru-prastara e a regra de Pingala. Ele ainda descreveu o sistema numérico binário em conexão à listagem das métricas védicas com sílabas longas e curtas.
O Meru-prastara pode ser considerado como sendo o mesmo que a Matriz Triangular conhecida na Europa como Triângulo de Pascal. Este triângulo apareceu pela vez na Europa no título da página da obra “média aritmética” do humanista e matemático Petrus Apianus, e posteriormente, nas obras de Michael Stifel, também na obra “De Numeris et Diversis Rationibus”  (1545) de Johann Scheubel (1494-1570), Tartaglia , BNombelli e outros matemáticos célebres da Renascença, e na obra póstuma de Blaise Pascal  “Traite Dv Triangle Arithmetiqve” de 1654. (veremos mais detalhes posteriormente).

Obra de Blaise Pascal: Tratado do Triângulo Aritmético


Figura 5 :“ Traite Dv Triangle Arithmetiqve” ,Blaise Pascal.

Para baixar a obra completa de Blaise Pascal:

“Traite Dv Triangle Arithmetiqve” . Faça download do arquivo no seguinte endereço:


A investigação de Pingala a respeito das combinações das métricas corresponde ao Teorema Binomial. Também é importante citar uma passagem que se refere ao número de combinações de letras, encontrada no primeiro livro cabalístico que se tem notícia, o “Sefer Yetzirá”, escrito por Abrahão (ou Abraão), após receber os conhecimentos da tradição cabalística diretamente de Melquisedeque
A passagem diz o seguinte:

"Aleph com todas e todas com Aleph.
Beth com todas e todas com Beth.
Repetem-se num circulo e existem em 231 portas."

O significado é o seguinte: O alfabeto hebraico é constituído por 22 letras, sendo a primeira, Aleph, e a última Beth, e está se tentando determinar quantos grupos de duas letras podem ser formados com elas. Este número é 231. Genericamente podemos enunciar este problema como uma combinação simples, tema este que já foi abordado aqui no blog “Matemática Na Veia”.

alfabeto_hebreu_idioma

Figura 6: ALEPH BEIT IVRI. Alfabeto Hebreu primitivo com as 22 letras da Cabala.

Observação: No hebraico as letras também são números, isto significa que o estudo da Cabala também requer estudos de alta matemática.
No idioma hebraico há três letras-mães, que são Aleph, Mem e Schin. Há sete letras duplas, que são Beth, Ghimel, Daleth, Chaph, Phe, Resch e Thau. E há doze letras simples ou elementares , que são He, Vo, Zain, Cheath, Teth, Iod, Lamed, Nun, Samech, Ayin, Tsade e Cuph.

O “Sefer Yetzirá” é altamente profundo e, apesar de ser relativamente pequeno, (aproximadamente duas páginas) foi comentado pelo Rabi Shimon Bar Yoshay (possivelmente no século I d.C.), comentários que deram origem ao livro cabalístico mais festejado de todos os tempos, o Sefer Zohar (Livro do Esplendor), o qual contém 24 volumes com aproximadamente 300 páginas cada.
Além destas obras, também encontramos literatura importante sobre o Triângulo Aritmético nas obras chinesas. Bom! Por enquanto vamos ficar por aqui, mas na segunda parte desta história veremos algumas obras importantes dos matemáticos da China e outros paises, que também contribuiram para o desenvolvimento do Triângulo Aritmético.

Se você é aluno, professor, ou simplesmente um apaixonado pela matemática, e gostaria de cooperar com dicas, indicar algum blog legal de matemática, ou que seja relacionado à educação, programas legais que conhece, artigos, trabalhos de escola. Mande um e-mail para caco36@ibest.com.br,ou comente aqui mesmo. Agradeço sua cooperação, comentários, dicas, críticas e sugestões.

Observação:
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- Crie um ponto de restauração no Windows, antes de instalar qualquer programa, ou arquivo.


REFERÊNCIAS:

IMENES, Luiz Márcio Pereira. Os números na história da civilização. São Paulo: Scipione, 1999. (Coleção Vivendo a matemática).
IFRAH, Georges. História Universal dos Algarismos: a inteligência dos homens contada pelos números e pelo cálculo. Tomo 1. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1997.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática Dante, Volume único, São Paulo, 1º edição, Ática, 2009.
Galera, Maria Cristina Solaeche. Sistema de tabulación de coeficientes binomiales o triângulo de Pascal: un modelo numérico rasga El telar de los tiempos. Venezuela, Divulgaciones matemáticas. n.1, p.61-68, v.6 ,1998.
Davis, Harold T. Tópicos de história da matemática para uso em sala de aula. São Paulo, Atual, 1992.
Morgado, Augusto César de Oliveira et alii. Análise combinatória e probabilidade. Rio de Janeiro, SBM, 1991. The Mathematical Magic of the Fibonacci Numbers. Disponível em: http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibmaths.html#pascal
http://www.vsmp.ch/bulletin/no85/pascal.html
http://www.gap-system.org/~history/Mathematicians/Khayyam.html
Figura 1: “Traite Dv Triangle Arithmetiqve” Disponível em: http://www.lib.cam.ac.uk/cgi-bin/PascalTriangle/browse
http://www.webquestbrasil.org/criador/webquest/soporte_derecha_w.php?id_actividad=14717&id_pagina=1

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Antonio Sobre a Autor:
Antonio Blogueiro desde 2007, gaúcho, gosta muito de ler, e é totalmente viciado em internet. Comecei blogar em 2005, e criei o Matemática na Veia no inicio de 2007. Sou formado em licenciatura Plena em Matemática pela UFPEL. Servidor Público,e fanático pela Web.
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6 Comentários:

  1. excelente seu texto! Que pena que meus livros de matemática não eram assim.
    A Figura 3 me lembra o diagrama de Linus Pauling utilizado para esplicar a distribuição eletrônica no ensino de química. Eles tem alguma relação?

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  2. Beleza Victor!Valeu também pela excelente observação sobre a figura 3. Durante as pesquisas que fiz para criar o artigo li algo sobre o diagrama de Linus Pualing em uma página em inglês, mas como não era o meu foco, passei os olhos superficialmente pelo texto.

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  3. Como não me lembro o que falava no texto, só posso afirmar que existe uma relação, mas não posso provar nada, pois também não me lembro das referências. Ainda não tenho material sobre Fibonacci, mas quando criar artigos sobre o tema, vou me lembrar sobre a tua observação e com certeza terá algo relacionado. Um abraço , e volte quando quiser.

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  4. Salve Caco. Passo apenas para dar um Oi e desejar-lhe um ótimo 2010. Nossos laços desataram-se sem que eu tenha ficado sabendo porque, o que é muito estranho em dias de internet e quando estamos conectados à distância de um e-mail.

    De toda forma, vejo que estás bem e, pelo que percebo, posso retirar seu mail da lista do OPS!, correto?

    Um abraço e pleno sucesso.

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  5. Estão abertas até o dia 05/02/2010 as inscrições para o processor seletivo no curso de mestrado em Métodos Numéricos Aplicados á Engenharia. Os interessados devem acessar o site www.ppgmne.ufpr.br para conhecer as linhas de pesquisa e obter maiores informações.

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  6. Correto Rafael, pode retirar o e-mail sim. Abraços.

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