FATORIAL
Fatorial é uma expressão que tem por função determinar um número sucessor com ajuda do anterior ou anteriores. Este procedimento é chamado de recursividade.
Durante o desenvolvimento da análise combinatória muitos matemáticos adotaram diferentes simbologias para denominar as mesmas operações. O símbolo π (n) foi instituído por Gauss (1777-1855) para representar o produto dos n primeiros números naturais, A. M. Legendre (Paris, 1811) usava o símbolo; a notação ()n(1+Γn n usada por outros autores. A Arbogast (Strasburgo, 1800) deve-se a denominação fatorial. )
Já a notação que conhecemos n!(fatorial de n ) , foi introduzida por Christian Kramp em (Colônia,1808) em seu livro "Elements d'arithmétique universelle"
Observação: O zero não entra nesta definição, pois se multiplicarmos todo o produto de n até 1 por zero teremos zero como resultado.
Para todo
, n!= n(n-1)(n-2)...1Define-se ainda que :
Para n=0 temos que n!=1
Para n=1 temos que n!=1
Exemplos I:
a)
0! = 1
1! = 1
2! = 2.1=23! = 3.2.1=6
4! = 4.3.2.1=24
5! = 5.4.3.2.1=120
.
.
.
n!= n(n-1)(n-2)...1
b)
a) 3!=3.2.1=6 desenvolvendo todo o produto sem truncar nenhum fator.
3!=3.2! = 6 , pois foi truncado em 2!, e como 2!=2.1 então temos que 3.2!=6.
Este segundo método facilita quando temos valores muito grandes e conhecemos os valores dos fatoriais menores.
b)
4!=4.3.2!
4!=4.3!
10!=10.9.8.7.6!
15!=15.14.13.12.11.10!
Exemplos III:
Exemplos IV:
Exemplos V:
Exemplos VI:
Agora vamos trabalhar com letras.
Primeiro vamos verificar qual dos fatoriais é o maior. Como eu faço para descobrir isto?
Vamos dar valores a variável k.
Exemplo:
Se k=1 , temos que:
(k+1)!=(1+1)!=2!=2, e do mesmo modo.
Se k=1 , temos que:
(k-1)!=(1-1)!=0!=1, (pela definição). Logo como 2>1, então o maior fatorial é (k+1)!.
Como a definição de fatorial nos diz que o desenvolvimento de um fatorial vai de n até 1, significa que temos que desenvolver o fatorial de k+1 até atingir o fator (k-1)!.
Ou seja, vamos truncar k+1 em k-1, para poder simplificar nosso problema.
Definição - n!=n(n-1)!
Logo (k+1)!= (k+1).k!
Colocamos k+1 no lugar do n da definição.
Colocamos (k+1) no lugar de (n-1)! Da definição.
(k+1-1)!=k
Mas ainda não chegamos ao fator (k-1)! Para truncar.
Bem! Qual o fatorial de k, ou k!?
Voltamos mais uma vez a definição.
n!=n(n-1)! Logo colocando k no lugar de n, ou seja fazendo k=n na definição, temos.
K!=k(k-1)!. Viva!!!Acho que deu.
Vamos montar nosso problema agora.
Referências:
Tizziotti, José Guilherme, 1944, Matemática: Segundo grau, Volume II, 4ª edição - SP : Á tica, 1980.
Santos, J. Plínio O. Introdução à análise combinatória / J. Plínio O. Santos - 3ª ediçãoo SP: Unicamp, 2002.
http://www.cesariof.xpg.com.br/
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