Representação de funções - Introdução
Afinal, o que são funções? Uma função descreve as mudanças sofridas por uma grandeza provocadas pela variação de outra. Quando conhecemos uma função, temos algum tipo de descrição da maneira como uma grandeza varia dependendo da variação de outra. Matematicamente, dizemos que uma função é uma relação entre os elementos de dois conjuntos, em que para cada elemento de um conjunto é associado apenas um elemento do outro conjunto.
Normalmente escrevemos f: D → B para informar que f leva os elementos do conjunto D em elementos do conjunto B. Chamamos o conjunto origem D de domínio de f, ou seja, o conjunto dos valores que a variável independente de f pode assumir. Quando o conjunto D não é explicitado, convenciona-se tomar o maior subconjunto possível para o qual f está definida. O conjunto B é o chamado contradomínio de f, e é lá que a função f identifica os possíveis valores para a variável dependente. Já o conjunto f (D), constituído de todos os possíveis valores de f (x) para x pertence à D, é chamado de imagem de f. Essa denominação é bastante gráfica, pois se D e B forem subconjuntos do conjunto dos números reais R a imagem de f é a projeção do gráfico de f sobre o eixo das ordenadas (veja uma possível ilustração na Figura 2).
Há várias formas de descrever como essa correspondência é feita. Essa descrição pode ser verbal, feita por meio de um texto que explica como as variáveis se relacionam, ou por meio de uma tabela, mostrando alguns valores significativos que a variável dependente assume conforme o valor da variável independente. Além disso, uma função pode ser representada por meio de uma fórmula matemática, ou então por meio de um desenho ou gráfico.
A idéia de desenhar o comportamento das funções em um plano está associada à necessidade de representar figuras tendo alguma referência espacial.
Com o uso dessa representação, passou-se a utilizar um plano com duas retas graduadas ortogonais destacadas, uma para representar os valores de x e outra os valores de y. Ou seja, para cada ponto P, precisamos ter um par de números indicando sua posição: o número x, que inicialmente era chamado de “corte” do ponto P, e depois ficou conhecido como abscissa (do latim “cortar”); e um segundo número y (conhecido como ordenada). Os termos abscissa, ordenada e coordenadas foram usados pela primeira vez por Leibniz em 1692.
O plano para representar posições recebeu posteriormente o nome de plano cartesiano, em homenagem a Descartes, que em 1637 teve a idéia de tratar as curvas geométricas por meio de expressões algébricas, dando origim a Geometria Analítica.
No plano cartesiano, as duas retas de referência recebem o nome de eixos coordenados, como na Figura 1.
Figura 2. Ilustração de possível condição de domínio e imagem de uma função f.
Vejamos agora um exemplo de uma função representada de diversas formas:
a) Registro verbal:
Uma formiga se move sobre uma régua em linha reta na direção crescente dos centímetros, com velocidade constante de 2 cm por segundo. Supondo que, quando começamos a observar a formiga, ela se encontra a 4 cm da origem, onde ela estará após 5 segundos?
b) Tabela:
c) Fórmula algébrica:
Chamando de t o tempo de percurso da formiga e de S sua posição, temos que para o valor t = 0 s, a formiga está na posição S = 4 cm. A cada segundo, somam-se 2 cm à sua posição. Assim, para t = 1 s, temos S = 2 + 4 = 6 cm. Para t = 2 s, temos S = 2 x 2 + 4 = 8 cm. Generalizando esse procedimento, vemos que a fórmula para o deslocamento da formiga é: S = 2t + 4
d) Gráfico:
No caso, podemos obter o valor desejado: após 5 s de passeio a formiga está na posição 12 cm. Observe que a linguagem gráfica às vezes pode trazer informação adicional. No caso da formiga, não foi informado o que ocorria antes de começarmos a observar, ou seja, no tempo “negativo” que veio antes do início da observação (ou o que viria depois da observação). Além disso, se a informação fosse só a fornecida pela tabela, não teríamos condições de saber exatamente qual é a função. Existem situações em que não é possível obter determinada representação para uma dada função. Em outras situações, pode ocorrer que certa representação seja muito mais útil que as demais. Por isso é importante conhecer todas.
Km plot - Programa para cálculo de funções para Linux
Em breve mais atualizações, aguarde.
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ResponderExcluirValeu Cris, eu que agradeço tua visita. Volte sempre que precisar. Abraços!
ResponderExcluirmuito bom o texto, bem explicado.
ResponderExcluirHi just wanted to give you a quick heads up and let you know
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