O conceito de potenciação é muito
importante no que se refere aos desenvolvimentos dos exercícios nos
conteúdos de equações e funções exponenciais, além de outras aplicações,
e por este motivo temos que ter bastante cuidado ao estudar as
propriedades e as principais características da potenciação. Já vimos estas propriedades nos tópicos anteriores, e
também suas principais características. E hoje vamos fazer um resumo
das mesmas, de forma que sejam assimilados todos os conceitos vistos
até aqui.
Vejamos:
A potenciação é uma multiplicação de
fatores iguais.
Temos que, (+2).(+2).(+2)=(+2)3
Na potência (+2)3 =
+8, temos:
(+2) = Base
3 = Expoente
+8 = Potência
Para os números inteiros relativos, temos:
1) Bases positivas
Vamos ver quanto vale (+3)2
(+3)2 = (+3) . (+3) = +9
E quanto vale (+5)4 ?
(+5)4 = (+5) . (+5). (+5) . (+5) =
+625
Observação:
Toda a potência de base positiva é sempre positiva.
2)
Bases negativas
E agora, quanto vale (-3)2?
(-3)2 = (-3) . (-3) = +9
E quanto vale (-2)3 ?
(-2)3 = (-2) . (-2). (-2) =
-8
Observação:
Toda potência
de base negativa é positiva, se o expoente for par, e é negativa, se o
expoente for impar.
Propriedades da potência
I) Toda
potência de base 1 é igual a 1.
Exemplos:
12 =1
16 =1
10 =1
1100=1
1n =1
II)
Toda potência de expoente 1 é
igual à base.
Exemplos:
21 = 2
31 = 3
51 = 5
01 = 0
a1 = a
III)
Toda potência de
expoente zero vale 1.
Exemplos:
10 = 1
20 = 1
500 = 1
a0 =
1 com a diferente de zero.
IV)
Toda potência de base igual a
zero e expoente diferente de zero, vale zero.
Exemplos:
01 = 0
03 = 0
05 = 0
0n =
0 com n diferente de zero
V) Toda potência de base 10 é igual a 1,
seguido de tantos zeros quantas forem as unidades do expoente.
Exemplos:
101 = 10
102 = 100
103 =
1000
OPERAÇÕES COM
POTÊNCIAS:
I) Multiplicação
de potências de mesma base.
23 . 22 = 23+2 =25
Conserva-se a base e somam-se os expoentes.
Vejamos mais alguns exemplos:
a) 25 . 23
= 25+3 =28
b) 37 . 32
= 27+2 =39
c) 32 . 3
= 32+1 =33
II)
Divisão de potências de mesma base:
23 ÷ 22 = 23-2 = 2
Conserva-se a base e
subtrai-se do expoente do dividendo o expoente do divisor.
Vejamos outros exemplos:
a) 25 ÷ 22 = 25-2
= 23
b) 74 ÷ 73 = 74-3 = 7
c) 93 ÷ 92 = 93-2 = 9
III) Potência
de potência:
( 22 )3 = 22.3 = 26
Conserva-se a base e
multiplicam-se os expoentes.
Vejamos outros exemplos:
a) (34 )2 = 34.2
= 38
b) (25 )2 = 25.2 = 210
c) (34 )1
= 34.1 = 34
IV) Produto elevado a uma potência:
(3 . 5 )2 = 32 . 52
Eleva-se cada fator à potência
considerada, ou efetua-se a multiplicação e eleva-se o resultado à
potência considerada.
(3 . 5 )2
= 152
Vejamos mais alguns exemplos:
a) (2 . 7 )3 = 23 . 73
b) (2 . 3. 4 )5 = 25 .
35. 45
c) (8 . 5 )4 = 84
. 54
Tópicos do conteúdo:
1 - Potenciação:Histórias e Rimas
2 - Potência de expoente natural: Introdução.
3 - Potência de expoente inteiro.
4 - Potências de números Racionais,Irracionais e Reais.
BIBLIOGRAFIA:
IR PARA O CONTEÚDO POTENCIAÇÃO
Tópicos do conteúdo:
1 - Potenciação:Histórias e Rimas
2 - Potência de expoente natural: Introdução.
3 - Potência de expoente inteiro.
4 - Potências de números Racionais,Irracionais e Reais.
Se você é aluno,
professor, ou simplesmente um apaixonado pela matemática, e gostaria
de cooperar com dicas, indicar algum blog legal de matemática, ou que
seja relacionado à educação, programas legais que conhece, artigos,
trabalhos de escola. Mande um e-mail para caco36@ibest.com.br,ou
comente aqui mesmo. Agradeço sua cooperação, comentários, dicas,
críticas e sugestões.
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artigo está em constante atualização, portanto assine o FEED do blog
para receber as atualizações gratuitamente. BIBLIOGRAFIA:
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI,
Ângela (org). Por trás da porta, que a matemática acontece.
Campinas:UNICAMP , 2001.
IMENES, Luiz. ; LELLIS, Marcelo.
Matemática. 5a a 8a série . Scipione, 1998.
BIGODE, Antonio José Lopes, 1955 –
Matemática hoje é feita assim / Antonio José Lopes Bigode, - São
Paulo:FTD, 2000. 5a série.
GIOVANNI, José Ruy; 1937 – A
conquista da matemática – Nova / José Giovanni, Benedito Castrucci,
José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1998.
IMENES, Luiz. ; LELLIS, Marcelo.
Matemática. 5a a 8a série . Scipione, 1998. 
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60 Comentários
Oi.Adorei,a minha área é a de Português,mas,ultimamente,coloquei na cabeça
que eu quero aprender matemática.Seu blog está me ajudando nessa loucura.
Abraços,Lúcia
12/07/010
Legal Luccia! Que bom que tá gostando de estudar matemátic aqui no blog. Qualquer coisa que precisar estamos a disposição. Um abraço!
olá!
teu blog é muito bom, sempre indico pros meus alunos de reforço de matemática.
abraço!
Legal Açucena! É motivador receber feedback de professores. Em breve vou postar conteúdo completo do fundamental e médio. Falta apenas compilar. Lindo nome! Um abraço e volte sempre!
Olá Caco, percebi que o meu banner não está aparecendo no seu blog. Gostaria se possível corrigir o problema.
Att.
Prof. Paulo Sérgio (blog Fatos Matemáticos)
GOSTEEI MTO DO SITE
Olá!
Adorei seu blog, sou professora de matemática e começei a me aventurar no mundo dos Blogs.. ainda estou engatinhando.. seu blog me deu algumas idéias! Brigadão..
Se quiser me visitar: www.professoraveridiana.blogspot.com
é me ajudou nos trabalhos e provas comecei a entender melhor a maldi: matematica. obrigado so vou entrar no seu blog é d+.
Nossa me ajudou muito. Já nao me lembrava mais e precisava ajudar minha filha com o dever de casa. Foi muito util, fora que despertou o interesse novamente pela materia.
Obrigado!!
Oi eu adoro meu professor de matemática pois ele ensina muito bem.
Ele e um professor muito dedicado para ensinar!TE ADORO MUITO!
como ficaria o ZERO elevado em um expoente negativo?
Obrigado a todos que comentaram aqui no blog. Profesora Veridiana, Alberto, e todos os Anônimos. Geralmente respondo para todos, mas as vezes é complicado acompanhar comentários atualizações e tudo mais que implica em ter um blog de matemática.
Bom,vou responder ao último que perguntou sobre como fica zero elevado a um expoente negativo.
Observe que temos a regrinha:
IV) Toda potência de base igual a zero e expoente diferente de zero, vale zero.
Exemplos:
0^1 = 0
0^3 = 0
0^5 = 0
0^n = 0 com n diferente de zero
não importa a potência n, sempre teremos zero como resultado.
Agora, se lembrarmos que a^-n = 1/ a^n , temos que
0^-n = 1/ 0^n . Observe que o denominador recai na regra IV, logo temos sempre um zero no denominador. Como não podemos dividir por zero, esta operação não é possível, ou melhor, não fica.
Espero ter esclarecido a dúvida, um abraço e retorne quando quiser.
Eu ia comentar o caso do zero na potência negativa, mas sua explicação já foi o suficiente rs!
Cara, enviei um pedido de parceria para você semana passada, mas ainda não obtive resposta. Já incluí seu banner no meu blog
http://blog.brunocollares.com.br
ABRAÇOS
PARABÉNS PELO BLOG, conteúdo bem apresentado e fundamentado.
Valeu pelas visitas Bruno! Já visitei teu blog e confirmei a parceria. Um braço.
Faltou potência negativa "/
e um numero inteiro com o expoente negativo? como resolver?
Pois é! Vou solucionar o problema em breve. Farei uma atualização no conteúdo. Abraços!
estou no 1ºEM agora, perdida e vivendo de recuperação, porque não tinha base nenhuma do ensino fundamental. durante os ultimos anos, troquei muito de professor, alem de que nao entendia nada do que eles diziam. amanhã tenho prova sobre função, equação e inequação exponencial, e estava em duvida sobre as propriedades da potenciação, porque meu material didático superestima meu talento pra exatas e acha que meu vocabulário é avançado, a nível superior (sim, eu sou quase um gênio, mas só em artes e inglês). o artigo até que me ajudou bastante. valeu, mesmo, caco.
ps. Caco, você é tão adoravelmente verde!:D
ps2. orem ou seilá, torçam por mim. não to nem um pouco com vontade de ficar de recuperação de novo. ainda mais no terceiro trimestre.
ps3. adorei o blog.
kat o jeito é estudar no mínimo duas horas por dia para recuperar. Também tenho muita dificuldade com a matemática, e olhe que já me formei. hehe! Cada um tem o seu tempo para aprender, mas parece que a grande maioria dos professores não está interessado neste quesito. Estou torcendo por você, quando terminar o trimestre passe por aqui para dar um alô.Gostou do sapinho verde? Um abraço!
Como faço soma e subtração de potências? Sempre só acho falando de multiplicação e divisão. Mas tenho alguns deveres de casa aqui que são de somar potenciação de base e expoente diferente. Como resolvo?
Ex: (12x³-9x+(6x'elevado a 4' + 3x²)+(3x²). Essa é uma das contas que tenho que resolver.. Me ajuda??
Muito útil essas informações, continuem assim!
Tudo bem Andressa?Você não pode somar ou subtrair potências expoentes diferentes. Veja uma definição de potência.
Os números envolvidos em uma multiplicação são chamados de fatores e o resultado da multiplicação é o produto, quando os fatores são todos iguais existe uma forma diferente de fazer a representação dessa multiplicação que é a potenciação.
2 . 2 . 2 . 2 = 16 → multiplicação de fatores iguais.
Podemos representar a mesma multiplicação da seguinte forma:
2 . 2 . 2 . 2 = 24 = 16
|-------------|
↓
Fatores iguais.
Essa representação é conhecida como potenciação, portanto, sempre que tivermos fatores iguais, podemos montar uma potência.
Na verdade o que você quer fazer é simplificar sua conta;
(12x³-9x+(6x'elevado a 4' + 3x²)+(3x²)=
6^4 + 12x³ +3x² +3x² -9x =
6^4 + 12x³ + 6x² -9x =
Veja que organizei tudo colocando em ordem decrescente e somando e subtraindo os termos semelhantes. +3x² +3x² =6x².
Porque não posso somar ou subtrair termos diferentes (no caso de potencias, expoentes diferentes) exemplo: x³ +x²
Imagine que x³ seria um cubo, ou um dado, e x² seria uma folha de papel, portanto diferentes. Ou seja cubos soma-se com cubos e folhas de papel com folhas de papel.
oi, achei seu site muito interessante, pois queria saber como resolver estas equações de potenciação.Não consigo resolver, já pedi ajuda mas não consigo, gostaria se pudesse me ajudar :
esta escrito assim:
simplifique as expressões:Dica:Use as formas inversas e a fatoração do tipo fator comum em evidência.
A] 3 n+2 -3 n o expoente é, o n+2 , n+1 , 2n+1 , n , 2n , n n-2.
e a base é , o 3 , -3 ,2 , -4 , -2.
____________
3 n+1 +3 n-1
B] 2 2n+1 -4 n
___________
2 2n
C] 2 n+1 -2 n-2
____________
2 n
si vocês conseguirem fale comigo rápido obrigado, tenham uma belo fim de semana. :)
Tudo bem Vinicius? Vou tentar pasar o básico para você entender.
este sinal ^ significa "elevado a" , ou seja 2^3 é dois elevado na terceira potência.
Veja que
I) a^m x a^n = a^(m + n)
Multiplicação de Potências de mesma base soma-se os expoentes.
e a^m / a^n = a^(m-n)
Divisão de Potências de mesma base subtrai os expoentes.
Bom! Vamos fazer um exemplo bem simples.
Veja que você tem um exemplo 3^(n+2) que podemos aplicar a regra
a^(m + n).
Vamos fazer o caminho inverso la de cima em I)a^m x a^n = a^(m + n)
Já temos a^(m + n) que é 3^(n+2) , mas precisamos simplificar e chegar até a^m x a^n.
Logo:
3^(n+2) =
3^n x 3^2 =
3^n x 9
A PRIMEIRA PARTE JÁ TÁ PRONTA. VAMOS JUNTAR -3^n ao resultado para ver como fica...
3^n x 9 - 3^n
Como fazer para simplificar isto?
Veja que temos 3^n nos dois termos da equação, logo.
3^n x 9 - 3^n=
3^n( 9 - 1)
3^n x 8
Bom, vou tomar um cafezinho e voc~e responde se entendeu esta primeira parte da aula. Espero sua resposta.
Muito bom, preciso de conteúdo pra fazer o enem 2012... quem poder me ajudar, me add. jean.bahia@yahoo.com , professores por favor mandem assunto pra mim por e-mail... eu preciso estudar, tenho q passou ! Obrigado :D
muuuuito bom , me ajudou bastante . Obrigado :)
Tudo bem Jeam? Acesse o site do ENEM ... Lá você vai ter todo o conteúdo de todas as provas a sua disposição. Vou mandar o link para o seu e-mail.
Acesse : http://sistemasenem2.inep.gov.br/resultadosenem/
Valeu Ruama ! Agradeço sua visita no blog, e volte sempre que precisar de ajuda para resolver seus problemas. Abraços!
esse site lixo... to brincando mi ajudou muito vlw gente
nossa essa potência me ajudou mt para o teste de amanhã mt obrigada potecia
mt bom !!
essas propriedades me ajudaram muito porém gostaria de saber se quando é uma divisão de potenciações e os expoentes são 4 e -5 por exemplo. O resultado seria 9 ou -1. Pois
4 - ( -5 ) é igual a 4 + 5 em razão de ser necessário inverter o sinal. Essa propriedade também é aplicada na potenciação ? Está ausente também o tópico POTENCIAÇÃO COM EXPOENTE NEGATIVO.
grohmannfe as propriedades de soma e subtração também valem para potências de bases iguais. No exemplo que você deu teríamos -1 como resultado. Estou preparando um novo artigo sobre potências bem mais completo e com milhares de exemplos.
Obrigado bruna! Volte sempre que precisar.
Brincar faz parte Lorran. A critica faz parte do desenvolvimento. Um abraço.
É isso aí Neneca, se passou dá um toque aqui no blog. Abraços!
Essa explicação sobre as propriedades da potenciação me ajudaram bastante num teste de matemática na escola,mas precisava q vcs fossem + fundo no assunto.
Manoelly vou providenciar mais exercícios sobre potenciação. Pode aguardar, um abraço!
mt bom, mas tinha q ter mais coisa meu véi... meu assunto tá mó dificil cara
eu naum axei nd isso é assunto de terceira e quarta serie
muito bom..... muito bem explicado ;)
Nossa ajudou bastante!não sei nem como agradecer sou asiatico e mesmo assim tenho dificuldade com matematica :O,vlw esse site é mto bom!
Estamos dando um jeito Luiz. Em breve mais conteúdo sobre o tema. Abraços!
Pois é Raul, fico te devendo esta.!Ainda não consegui colocar todo o conteúdo básico. Chegaremos lá. Um abraço!
Valeu Caroline. Me entusiamou bastante o teu comentário. Abraços!
Nooosa! Que honra Isamu. Sabe qual o problema? Você aprendeu nosso idioma e ficou mais difícil aprender a matemática. A escrita asiatica facilita muito para fazer cálculos. Já, as linguas latinas dificultam bastante o processo do cálculo. Vou fazer um artigo mostrando as diferenças. Cobrem por favor.Abraços!
Vamos usar o botão +1 pessoal. Ajudem o google a indexar[achar] o matemática na veia. Valeu!
Nossa muito bom ,eu tenho uma prova de matemática e esse site ta me ajudando a entender mais Matemática, qualquer dúvida venho aqui :)
Esse saite é mt boooooommmm ta ja nos meus favoritos vlw msm :D
Beleza Pah! Estou a sua disposição para tirar as dúvidas que estiverem ao meu alcance.Abraços.
Agradeço pela confiança Pedro. São comentários como os seus que me fazem melhorar cada vez mais o blog. Volte sempre que precisar.Um abraço!
Mto bom esse siteme ajudiu mtoo !
esse site e muito bom e otimo esta me ajudado
Cara isso é mt fácil, mt bem explicado, só aprende quem quer. É mt mt mt mt fácil, vou arrasar no meu seminário u.u valew!!! nota 10 ♥
mtu bom.me ajudou bastante.ja sei aonde procurar respostas para as minhas duvidas de matematica agora!abraços
POW,gostei muito do site valeu:)
olha faltou a propriedade com numero negativo no expoente.Mas valeu mui obrigado.(Ana Claúdia).
obg ajudou pra caramba continue assim =D
Eu, adorei,so que eu nao tenho uma mente muito facil de desenvolver
continhas,e esqueço mais toda vez que esqueçer,venho aqui,relembrar
mais as continhas
legal
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