Análise combinatória - Exercícios de combinações simples

 Exercícios resolvidos de combinações simples

1 – Uma escola tem 9 professores de matemática. Quatro deles deverão representar a escola em um congresso. Quantos grupos de 4 são possíveis? Os agrupamentos são combinações simples, pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta pelo menos uma pessoa diferente. Invertendo a ordem dos elementos, não alteramos o grupo.

Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9 professores de matemática (m_i): 

Mas aqui consideramos distintos os agrupamentos do tipo (m₃,m₇,m₆,m₉) e (m₇,m₃,m₆,m₉)

A quantidade de agrupamentos formados por esses professores, mudando-se apenas a ordem, é dada por P₄ = 4!=24.

Logo, o número de combinações simples será o quociente 3024:24=126.

2. Ainda usando o exemplo anterior. Dos 9 professores de matemática dentre os quais 4 irão a um congresso, calcular quantos grupos serão possíveis.

3. Resolver a equação C_{x, 2} = 3.

Logo V = {3}

4. Dos 12 jogadores levados para uma partida de vôlei, apenas 6 entrarão em quadra no início do jogo. Sabendo que 2 são levantadores e 10 são atacantes, como escolher 1 levantador e 5 atacantes?

Dos 2 levantadores escolheremos 1, e dos 10 atacantes apenas 5 serão escolhidos. Como a ordem não faz diferença, temos:

escolhas do levantador.

escolhas dos 5 atacantes.

Logo, teremos 2 · 252 = 504 formas de escolher o time.

5. Durante o jogo, 2 atacantes e o levantador foram substituídos. De quantas formas isso poderia ser feito?

Dos jogadores que não estavam na quadra, 1 era levantador e 5 eram atacantes. Assim, só há uma forma de substituir o levantador e C_{5, 2} formas de substituir os dois atacantes. Logo, as substituições poderiam ter sido feitas de:

formas diferentes.

6. Com cinco alunos, quantas comissões de três alunos podem ser formadas?

comissões.

7. De quantos modos podemos escolher 2 objetos em um grupo de 6 objetos distintos?

modos.

8. Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas, se possuo 8 frutas distintas?

  saladas

9. De quantas maneiras podemos escolher 2 estudantes numa classe com 30 alunos?

A questão é a mesma que perguntar quantos subconjuntos de dois elementos possui um conjunto com 30 elementos. A resposta é:

10. Num grupo de 9 pessoas há 2 garotas e 7 rapazes. De quantas maneiras podemos escolher

4 membros do grupo sendo que, no mínimo, há uma garota dentre os escolhidos?

Se dentre os 4 membros escolhidos há uma garota, essa escolha pode ser feita de C_{7, 2} . C_{2, 1} maneiras distintas. Se dentre os 4 membros escolhidos há duas garotas, essa escolha pode ser feita de C_{7, 2} . C_{2, 2} maneiras distintas. Portanto, o número pedido é

Ou seja. C_{7, 2} . C_{2, 1} + C_{7, 2} . C_{2, 2} = 91

11. De quantas maneiras podemos dividir 10 rapazes em dois grupos de cinco?

O primeiro grupo pode ser escolhido de C_{10, 5} modos. Escolhido o primeiro grupo, sobram 5 pessoas e só há uma maneira de formar o segundo grupo. A resposta parece ser C_{10, 5} . 1

Entretanto, contamos cada divisão duas vezes. Por exemplo, a divisão dos rapazes nos dois grupos {a, b, c, d, e} e {f, g, h, i, j} é idêntica a divisão nos grupos: {f, g, h, i, j} e {a, b, c,d, e}, e foi contada como se fossem distintas. Portanto, a resposta é:

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Referências:

BACHX, A. de; POPPE, L. M. B.; TAVARES; RAYMUNDO N. O. – Prelúdio à Análise Combinatória. Companhia Editora Nacional. 1975

CARVALHO, P. C. P; LIMA, E. L.; MORGADO, A. C; WAGNER, E. – A Matemática do Ensino Médio. Vol. 2. Coleção do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática. 1998

CARVALHO, J. B. P; CARVALHO, P. C. P; FERNANDEZ, P; MORGADO, A. C de O. – Análise Combinatória e Probabilidade. Coleção do Professor de Matemática.

Fontes:

http://www.olimpiada.ccet.ufrn.br/

Sociedade Brasileira de Matemática. 1991