Potência de expoente inteiro: Introdução.

POTÊNCIA COM EXPOENTE DE NÚMEROS INTEIROS

Vimos no tópico anterior, que trabalhamos somente com números n positivos, pois o conjunto dos números naturais é formado por:

N={ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, ... } .  Agora vamos trabalhar com um novo conjunto, onde poderemos atribuir um significado para à potência aⁿ  , onde a Î R₊, e n Î Z é um número inteiro, que pode ser negativo ou igual à zero, pois:

 Z = { ..., -3, -2, -1,  0,  1,  2,  3,  ...}.

De modo que a propriedade fundamental  da potenciação a^m . aⁿ  = a^m+n deve ser mantida

Vejamos a seguinte igualdade:

a⁰ . a¹  = a⁰⁺¹ =a , logo temos que a⁰ =1 , e (a ≠ 0).

Uma forma prática de entender porque a⁰ = 1 .

Observe a tabela:

2⁴   implica em  2.2.2.2 = 16

2³   implica em     2.2.2 =   8

2²   implica em        2.2 =   4

2¹   implica em           2 =   2

2⁰   implica em              =   1  

( Veja potências especiais no tópico I)

Desta forma, dado qualquer n   Î  N^*  , devemos ter, para a ≠ 0:a^-n . a ⁿ = a^{-n + n} =a⁰ = 1 , portanto  a^-n . a ⁿ =1, ou seja: 

Dado um número real a, não nulo, e um número n natural, chama-se potência de base a, e expoente  -n o número a^-n , que é o inverso de aⁿ , ou seja: 

Vejamos alguns exemplos números inversos:

Observação:   

(-a )^impar   = negativo.

(-a )^par       = positivo.  

Potência de base NEGATIVA, e expoente IMPAR, o resultado é NEGATIVO.

Potência de base NEGATIVA, e expoente PAR, o resultado é POSITIVO.

(  a )^par       = positivo.

(  a )^impar   = positivo. 

Potência de base POSITIVA, e expoente PAR o resultado é sempre POSITIVO.

Se liga! Quando a base é um número negativo, é necessário escrevê-la entre parênteses.

a)  (-2)⁴ = 16   , onde a base é (-2)

Compare os seguintes exemplos:

a)  (-2)⁴ = (-2) . (-2) .(-2) .(-2)  = 16   que é diferente de:

b)  -2⁴ = -(2 . 2 .2 .2)  = -16   que é igual à

c)  -(2)⁴ = -(2 . 2 .2 .2)  = -16   onde a base é (2)

Logo, se a base não apresentar parênteses, o sinal de negativo será aplicado somente após obtermos o resultado da potenciação. O mesmo fato acontece, se a base esta dentro de parênteses, mas existe um sinal negativo antes dela, como nos exemplos a) e b) acima.

Observação: Apartir da validade da definição para potência de expoente inteiro negativo, todas as propriedades válidas para números naturais, também são válidas para quaisquer expoentes m e n inteiros positivos ou negativos.

                                       

  Inverso do número a  ≠ 0 . 

Exercícios resolvidos e explicados:

1. Calcule as potências com expoentes em R.

a) 3⁴     = 3.3.3.3 = 81 

Observe os elementos dados:

A base a=3        O expoente n= 4        Temos 4 fatores, pois n=4 .

Resultado = 81 ,pois  4.4.4.4 = 81 = 3⁴

b)  -3⁴     = - ( 3.3.3.3 ) = - 81 

Observe os elementos dados:

A base a=3     O expoente n= 4     Temos 4 fatores, pois n=4 .

O sinal negativo é carregado depois dos cálculos.

Resultado = - 81 ,pois –( 3.3.3.3) = - 81 = - 3⁴

c)   (-3)⁴     = (-3).(-3).(-3).(-3) = 81 

Observe os elementos dados:

A base a= -3      O expoente n= 4        Temos 4 fatores, pois n=4 .

Resultado = 81 ,pois (-3).(-3).(-3).(-3)  = 81 = (-3)⁴ 

Agora é a sua vez!

Exercícios propostos: Calcular o valor das potências.

 1       -     a ) (+2)²            b) 2²           c)  -2²         d)  -(2)²              e ) –(-2)²  

 2       -     a ) (+3)²            b) 3²           c)  -3²         d)  -(3)²              e ) –(-3)² 

 3       -     a ) (+4)²            b) 4²           c)  -4²         d)  -(4)²              e ) –(-4)² 

 4       -     a ) (+2)³            b) 2³           c)  -2³          d)  -(2)³             e ) –(-2)³ 

 5       -     a ) (+3)³            b) 3³           c)  -3³          d)  -(3)³             e ) –(-3)³ 

 6       -     a ) (+4)³            b) 4³           c)  -4³          d)  -(4)³             e ) –(-4)³ 

 7       -     a ) (+a)²            b) a²           c)  -a²          d)  -(a)²             e ) –(-a)² 

 8       -     a ) (+2)^-2           b) 2^-2          c)  -2^-2         d)  -(2) ^-2          e ) –(-2) ^-2  

 9       -     a ) (+2)^-3           b) 2^-3          c)  -2^-3         d)  -(2) ^-3          e ) –(-2) ^-3  

10      -     a ) (+a)^-1           b) a^-1           c)  -a^-1        d)  -(a) ^-1          e ) –(-a) ^-1  

Calcule o valor das operações com as potências
 

Para conferir seus resultados use a calculadora de potências abaixo. Para frações você pode usar decimais. Ex: 1/2 = 0,5     1/3=0,333...   3/5=0,6. Para usar expoentes negativos o procedimento é normal. 

Cálculadora  de potências de números inteiros.

Base  :	Expoente :
Resultado da operação :

IR PARA O CONTEÚDO  POTENCIAÇÃO

Tópicos do conteúdo:

Observação: Os tópicos 3 e 4 ainda não estão disponíveis no blog, mas os arquivos podem ser enviados por e-mail.  Caso necessário, peça o seu.

1 - Potenciação:Histórias e Rimas 
2 - Potência de expoente natural: Introdução.
3 - Potência de expoente inteiro.
4 - Potências de números Racionais,Irracionais e Reais.   

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Exercícios básicos de potências de números Naturais com gabaritos  

Exercícios básicos de potências de números Inteiros com gabaritos 

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PRÓXIMO TÓPICO: POTÊNCIAS DE NÚMEROS RACIONAIS,IRRACIONAIS,REAIS. 

Por enquanto ficaremos por aqui. No próximo artigo vamos descobrir algumas aplicações que envolvem as propriedades do triângulo Aritmético. 

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BIBLIOGRAFIA:

GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Ângela (org). Por trás da porta, que a matemática acontece. Campinas:UNICAMP , 2001.

IMENES, Luiz. ; LELLIS, Marcelo. Matemática. 5^a a 8^a  série . Scipione, 1998.

BIGODE, Antonio José Lopes, 1955 – Matemática hoje é feita assim / Antonio José Lopes Bigode, - São Paulo:FTD, 2000. 5^a série.

GIOVANNI, José Ruy; 1937 – A conquista da matemática – Nova / José Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1998.

IMENES, Luiz. ; LELLIS, Marcelo. Matemática. 5^a a 8^a  série . Scipione, 1998.

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Sobre a Autor:

Antonio Blogueiro desde 2007, gaúcho, gosta muito de ler, e é totalmente viciado em internet. Comecei blogar em 2005, e criei o Matemática na Veia no inicio de 2007. Sou formado em licenciatura Plena em Matemática pela UFPEL. Servidor Público,e fanático pela Web.