[♀]Matemática na Veia 2007-2016 O Blog do Estudante Inteligente
Matemática na veia
Pablo Emanuel - IMPA
Diz a lenda que, há muitos milênios, o mundo vivia em guerra constante, pois as pessoas não sabiam como resolver as suas discordâncias, a não ser pela força bruta. Um dia, os deuses (que são exímios matemáticos), para resolver esta situação, enviaram um mensageiro à Terra, com a missão de ensinar os homens a resolverem as suas disputas. O anjo se dirigiu então aos homens, dizendo: - Quando dois entre vós precisarem chegar a um acordo, que se faça como vos digo: que um escolha par e o outro escolha ímpar, então que ambos mostrem ao mesmo tempo a mão exibindo uma certa quantidade de dedos. Serão então somadas estas quantidades. Se a soma for um número par declara-se vencedor o jogador que escolheu par e, caso contrário, declara-se vencedor aquele que escolheu ímpar. Os homens ficaram maravilhados com a sabedoria dos deuses e, deste dia em diante, houve um grande período de paz, pois todas as questões eram resolvidas com o jogo que eles haviam aprendido dos deuses. Um dia, porém, esta paz foi abalada. Três reis disputavam um pedaço de terra, que ficava exatamente na divisa entre os três países. Eles estavam prontos a utilizar o jogo divino do par-ou-ímpar, mas o rei que sabia mais matemática entre os três se levantou e disse: - Caros colegas, nós todos sabemos que um
número só pode ser par ou ímpar, não existindo uma terceira opção. Como somos três, algum de nós não vai ter opção alguma. Este era realmente um problema muito sério. Para resolvê-lo, foi chamado o melhor matemático da Terra na época, chamado Zerinhoum. Ele pensou durante várias semanas em como resolver o problema dos reis, e finalmente chegou a uma solução: - Majestades, encontrei a solução para o vosso problema. Ao mesmo tempo, vós estendereis vossas mãos, mantendo-as ou com a palma para cima ou com a palma para baixo. Aquele dentre vós que tiver a mão em posição diferente dos demais ganha a disputa. - E se todos nós tivermos as palmas das mãos viradas para o mesmo lado? -indagaram os reis.- Neste caso, majestades, vós jogareis novamente, até que algum entre vós vença। Como a disputa era muito urgente, os reis aceitaram a sugestão do eminente matemático. Houve mais um período de paz, desta vez muito mais curto. Em pouco tempo, as pessoas perceberam que o jogo de Zerinhoum podia se alongar indefinidamente, e que era possível se fazer alianças para prejudicar adversários políticos.Então as pessoas rezaram aos deuses, pedindo um novo jogo, que trouxesse de novo a paz à Terra. Os deuses então enviaram novamente um mensageiro. Quando ele chegou, os homens lhe cercaram dizendo- Mensageiro dos deuses, atendeste as nossas preces. Vivíamos em guerra, e os deuses nos enviaram o sagrado jogo do par-ou-ímpar, que nos trouxe a paz. Mas este jogo só podia ser jogado por dois jogadores, e as trevas se abateram de novo sobre nós. Então um grande homem nos ensinou um novo jogo, que chamamos Zerinhoum em sua homenagem. Mas este jogo tinha problemas, e a guerra voltou a nos assolar. Por favor, ó grande sábio, que vem em nome dos deuses, ensina-nos um novo jogo, que possa nos trazer de volta nossa paz. E o anjo assim respondeu:- Eu vos ensinarei um novo jogo. Zerinhoum era um grande matemático, mas não conhecia os segredos dos deuses. Eu vos revelarei estes segredos. Para isto, o melhor é começar pelo antigo jogo do par-ou-ímpar. Como se decide se um número é par ou é ímpar? Basta dividi-lo por 2. Se o resto for igual a 0, o número será par, se for igual a 1, o número será ímpar. Estas são as únicas duas opções, porque o resto sempre é menor do que o dividendo (2). Reparai que se dividirmos o número por 3, passam a existir 3 opções para o resto, pois ele pode ser 0, 1 ou 2. Na divisão por 4, existem 4 restos possíveis ( 0, 1, 2 e 3). Em geral, quando dividimos um número por n , existem n restos possíveis ( 0, 1, 2, …, n – 2 e n – 1 ). E o que isto tem a ver com o jogo? Tudo, eu vos digo. Se n pessoas estiverem em uma disputa, vós fareis como eu vos digo: As pessoas escolherão, cada uma, um número entre 0 e n – 1 diferente. Depois, ao mesmo tempo, elas mostrarão as mãos, exibindo uma quantidade qualquer de dedos. As quantidades serão somadas, e o número resultante será dividido por n. A pessoa que escolheu o resto desta divisão será a vencedora.Esta é a forma que os deuses jogam. Mas vós da Terra sois muito desorganizados para poder escolher tantos números de forma tranqüila. Portanto, eu vos ensinarei uma forma alternativa de jogar este jogo. Vós vos arrumareis em um círculo. Uma pessoa será designada a contar. Então vós gritareis a palavra mágica “Adedanha” e todos mostrarão as mãos. Os resultados serão somados, e aquele que havia sido designado fará o seguinte procedimento: Em primeiro lugar falará “Um”, e apontará para o céu, para que nunca vos esqueçais de que foram os deuses que vos ensinaram este jogo. Então apontará para si mesmo e falará “Dois”. Depois apontará para o jogador à sua esquerda e falará “Três”, e depois seguirá apontando para o jogador à esquerda deste e assim por diante, sempre acrescentando um ao número que havia falado anteriormente, até chegar à soma que havia sido calculada. O jogador que estiver sendo apontado neste momento será o vencedor. Se a soma for 1, o jogador que estiver à direita do que estiver contando será declarado vencedor. Se for 0, será o que estiver à direita deste.Os homens entenderam as determinações do mensageiro, mas ainda não entendiam porque o segundo jogo era equivalente ao primeiro. O anjo então lhes explicou:- A pessoa que está contando vai apontar para si mesma quando estiver falando “2”. Depois vai dar uma volta completa no círculo e vai apontar para si mesma novamente quando estiver no “2 + n”, e novamente no “2 + 2n”. Ou seja, ela vai estar apontando para si mesma se e somente se estiver falando um número cujo resto na divisão por n seja 2. Da mesma forma, vai estar apontando para o jogador à sua esquerda se e somente se estiver falando um número que deixa resto 3 ao ser dividido por n. E assim por diante, de forma que cada jogador terá associado a si um número entre 0 e n – 1 tal que ele é o vencedor se e somente se o resultado da soma deixa aquele resto quando dividido por n.Os homens estavam maravilhados com a explicação do mensageiro, mas um sábio ancião levantou uma questão.- Ó, mensageiro divino, sem dúvida és sábio e sagaz. No entanto, uma dúvida me corrói o espírito. Tendo cada jogador 10 dedos, esta soma pode atingir números muito elevados, fazendo com que o responsável pela contagem passe um tempo enorme falando e apontando até que se descubra o vencedor. - Tens toda a razão, sábio homem. Mas em verdade vos digo que é tolice que um jogador exiba uma quantidade de dedos maior ou igual à quantidade de jogadores. Com efeito, suponde que um jogador coloque um número maior ou igual a n. Os primeiros n dedos só vão ter o efeito de fazer com que a contagem dê uma volta completa no círculo, sem alterar em nada quem será o vencedor. Portanto, ele pode subtrair n da sua quantidade sem que isto altere o resultado. Se o número persistir maior ou igual a n, basta voltar a subtrair, até que o número fique entre 0 e n – 1.- Isto de fato diminui sobremaneira o esforço requerido- replicou o ancião. Mas ainda assim o resultado pode chegar a n(n – 1), que ainda é bastante grande.- És de fato perspicaz, meu nobre homem. Mas não penseis que a sabedoria dos deuses possui limite. O mesmo processo que foi aplicado a cada número individualmente pode ser aplicado à soma. Por exemplo, considerai um jogo com 4 jogadores. Suponde que um dos jogadores exibe 3 dedos e outro exibe 2 dedos. Por que considerar a sua soma como sendo 5, se o efeito de somar 4 é apenas fazer com que o responsável pela contagem dê uma volta a mais? Em vez disto, é muito mais sensato considerar a sua soma como sendo 5 – 4 = 1. Mais geralmente, considere um jogo com nn dos valores jogados por cada um, de forma que todos eles estejam entre 0 e n – 1 (se todos os jogadores dessem ouvidos às palavras dos deuses, não jogariam além destes limites). Depois procede-se a soma, da seguinte forma. Soma-se o primeiro valor com o segundo. Caso esta soma seja um valor maior ou igual a n, subtrai-se n do resultado ( Sede espertos e sabereis que fazendo isto sempre obtereis um número entre 0 e n – 1 ). Depois, a este resultado, soma-se o terceiro valor, tomando-se o cuidado de se subtrair n caso a soma exceda n – 1. Prossegue-se desta forma até que todos os valores tenham sido somados. Se seguistes o meu raciocínio até este ponto, não deveria ser-vos surpresa o fato que o resultado de uma tal operação está sempre entre 0 e n – 1, e portanto o jogador responsável pela contagem nunca precisará dar mais de uma volta. jogadores.
Em primeiro lugar diminui-se E então todos os habitantes se ajoelharam aos pés do anjo, reconhecendo a sua suprema sabedoria, e o mundo conheceu enfim a paz. Até hoje os homens jogam os jogos de par-ou-ímpar e adedanha da forma como foram ensinados pelos deuses, embora, infelizmente, a maioria tenha se esquecido da lição final e continue se extenuando em uma interminável contagem que dá voltas e mais voltas.
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“ COMO OS DEUSES MATEMÁTICOS TROUXERAM A PAZ AO MUNDO”
Pablo Emanuel - IMPA
Diz a lenda que, há muitos milênios, o mundo vivia em guerra constante, pois as pessoas não sabiam como resolver as suas discordâncias, a não ser pela força bruta. Um dia, os deuses (que são exímios matemáticos), para resolver esta situação, enviaram um mensageiro à Terra, com a missão de ensinar os homens a resolverem as suas disputas. O anjo se dirigiu então aos homens, dizendo: - Quando dois entre vós precisarem chegar a um acordo, que se faça como vos digo: que um escolha par e o outro escolha ímpar, então que ambos mostrem ao mesmo tempo a mão exibindo uma certa quantidade de dedos. Serão então somadas estas quantidades. Se a soma for um número par declara-se vencedor o jogador que escolheu par e, caso contrário, declara-se vencedor aquele que escolheu ímpar. Os homens ficaram maravilhados com a sabedoria dos deuses e, deste dia em diante, houve um grande período de paz, pois todas as questões eram resolvidas com o jogo que eles haviam aprendido dos deuses. Um dia, porém, esta paz foi abalada. Três reis disputavam um pedaço de terra, que ficava exatamente na divisa entre os três países. Eles estavam prontos a utilizar o jogo divino do par-ou-ímpar, mas o rei que sabia mais matemática entre os três se levantou e disse: - Caros colegas, nós todos sabemos que um
número só pode ser par ou ímpar, não existindo uma terceira opção. Como somos três, algum de nós não vai ter opção alguma. Este era realmente um problema muito sério. Para resolvê-lo, foi chamado o melhor matemático da Terra na época, chamado Zerinhoum. Ele pensou durante várias semanas em como resolver o problema dos reis, e finalmente chegou a uma solução: - Majestades, encontrei a solução para o vosso problema. Ao mesmo tempo, vós estendereis vossas mãos, mantendo-as ou com a palma para cima ou com a palma para baixo. Aquele dentre vós que tiver a mão em posição diferente dos demais ganha a disputa. - E se todos nós tivermos as palmas das mãos viradas para o mesmo lado? -indagaram os reis.- Neste caso, majestades, vós jogareis novamente, até que algum entre vós vença। Como a disputa era muito urgente, os reis aceitaram a sugestão do eminente matemático. Houve mais um período de paz, desta vez muito mais curto. Em pouco tempo, as pessoas perceberam que o jogo de Zerinhoum podia se alongar indefinidamente, e que era possível se fazer alianças para prejudicar adversários políticos.Então as pessoas rezaram aos deuses, pedindo um novo jogo, que trouxesse de novo a paz à Terra. Os deuses então enviaram novamente um mensageiro. Quando ele chegou, os homens lhe cercaram dizendo- Mensageiro dos deuses, atendeste as nossas preces. Vivíamos em guerra, e os deuses nos enviaram o sagrado jogo do par-ou-ímpar, que nos trouxe a paz. Mas este jogo só podia ser jogado por dois jogadores, e as trevas se abateram de novo sobre nós. Então um grande homem nos ensinou um novo jogo, que chamamos Zerinhoum em sua homenagem. Mas este jogo tinha problemas, e a guerra voltou a nos assolar. Por favor, ó grande sábio, que vem em nome dos deuses, ensina-nos um novo jogo, que possa nos trazer de volta nossa paz. E o anjo assim respondeu:- Eu vos ensinarei um novo jogo. Zerinhoum era um grande matemático, mas não conhecia os segredos dos deuses. Eu vos revelarei estes segredos. Para isto, o melhor é começar pelo antigo jogo do par-ou-ímpar. Como se decide se um número é par ou é ímpar? Basta dividi-lo por 2. Se o resto for igual a 0, o número será par, se for igual a 1, o número será ímpar. Estas são as únicas duas opções, porque o resto sempre é menor do que o dividendo (2). Reparai que se dividirmos o número por 3, passam a existir 3 opções para o resto, pois ele pode ser 0, 1 ou 2. Na divisão por 4, existem 4 restos possíveis ( 0, 1, 2 e 3). Em geral, quando dividimos um número por n , existem n restos possíveis ( 0, 1, 2, …, n – 2 e n – 1 ). E o que isto tem a ver com o jogo? Tudo, eu vos digo. Se n pessoas estiverem em uma disputa, vós fareis como eu vos digo: As pessoas escolherão, cada uma, um número entre 0 e n – 1 diferente. Depois, ao mesmo tempo, elas mostrarão as mãos, exibindo uma quantidade qualquer de dedos. As quantidades serão somadas, e o número resultante será dividido por n. A pessoa que escolheu o resto desta divisão será a vencedora.Esta é a forma que os deuses jogam. Mas vós da Terra sois muito desorganizados para poder escolher tantos números de forma tranqüila. Portanto, eu vos ensinarei uma forma alternativa de jogar este jogo. Vós vos arrumareis em um círculo. Uma pessoa será designada a contar. Então vós gritareis a palavra mágica “Adedanha” e todos mostrarão as mãos. Os resultados serão somados, e aquele que havia sido designado fará o seguinte procedimento: Em primeiro lugar falará “Um”, e apontará para o céu, para que nunca vos esqueçais de que foram os deuses que vos ensinaram este jogo. Então apontará para si mesmo e falará “Dois”. Depois apontará para o jogador à sua esquerda e falará “Três”, e depois seguirá apontando para o jogador à esquerda deste e assim por diante, sempre acrescentando um ao número que havia falado anteriormente, até chegar à soma que havia sido calculada. O jogador que estiver sendo apontado neste momento será o vencedor. Se a soma for 1, o jogador que estiver à direita do que estiver contando será declarado vencedor. Se for 0, será o que estiver à direita deste.Os homens entenderam as determinações do mensageiro, mas ainda não entendiam porque o segundo jogo era equivalente ao primeiro. O anjo então lhes explicou:- A pessoa que está contando vai apontar para si mesma quando estiver falando “2”. Depois vai dar uma volta completa no círculo e vai apontar para si mesma novamente quando estiver no “2 + n”, e novamente no “2 + 2n”. Ou seja, ela vai estar apontando para si mesma se e somente se estiver falando um número cujo resto na divisão por n seja 2. Da mesma forma, vai estar apontando para o jogador à sua esquerda se e somente se estiver falando um número que deixa resto 3 ao ser dividido por n. E assim por diante, de forma que cada jogador terá associado a si um número entre 0 e n – 1 tal que ele é o vencedor se e somente se o resultado da soma deixa aquele resto quando dividido por n.Os homens estavam maravilhados com a explicação do mensageiro, mas um sábio ancião levantou uma questão.- Ó, mensageiro divino, sem dúvida és sábio e sagaz. No entanto, uma dúvida me corrói o espírito. Tendo cada jogador 10 dedos, esta soma pode atingir números muito elevados, fazendo com que o responsável pela contagem passe um tempo enorme falando e apontando até que se descubra o vencedor. - Tens toda a razão, sábio homem. Mas em verdade vos digo que é tolice que um jogador exiba uma quantidade de dedos maior ou igual à quantidade de jogadores. Com efeito, suponde que um jogador coloque um número maior ou igual a n. Os primeiros n dedos só vão ter o efeito de fazer com que a contagem dê uma volta completa no círculo, sem alterar em nada quem será o vencedor. Portanto, ele pode subtrair n da sua quantidade sem que isto altere o resultado. Se o número persistir maior ou igual a n, basta voltar a subtrair, até que o número fique entre 0 e n – 1.- Isto de fato diminui sobremaneira o esforço requerido- replicou o ancião. Mas ainda assim o resultado pode chegar a n(n – 1), que ainda é bastante grande.- És de fato perspicaz, meu nobre homem. Mas não penseis que a sabedoria dos deuses possui limite. O mesmo processo que foi aplicado a cada número individualmente pode ser aplicado à soma. Por exemplo, considerai um jogo com 4 jogadores. Suponde que um dos jogadores exibe 3 dedos e outro exibe 2 dedos. Por que considerar a sua soma como sendo 5, se o efeito de somar 4 é apenas fazer com que o responsável pela contagem dê uma volta a mais? Em vez disto, é muito mais sensato considerar a sua soma como sendo 5 – 4 = 1. Mais geralmente, considere um jogo com nn dos valores jogados por cada um, de forma que todos eles estejam entre 0 e n – 1 (se todos os jogadores dessem ouvidos às palavras dos deuses, não jogariam além destes limites). Depois procede-se a soma, da seguinte forma. Soma-se o primeiro valor com o segundo. Caso esta soma seja um valor maior ou igual a n, subtrai-se n do resultado ( Sede espertos e sabereis que fazendo isto sempre obtereis um número entre 0 e n – 1 ). Depois, a este resultado, soma-se o terceiro valor, tomando-se o cuidado de se subtrair n caso a soma exceda n – 1. Prossegue-se desta forma até que todos os valores tenham sido somados. Se seguistes o meu raciocínio até este ponto, não deveria ser-vos surpresa o fato que o resultado de uma tal operação está sempre entre 0 e n – 1, e portanto o jogador responsável pela contagem nunca precisará dar mais de uma volta. jogadores.Em primeiro lugar diminui-se E então todos os habitantes se ajoelharam aos pés do anjo, reconhecendo a sua suprema sabedoria, e o mundo conheceu enfim a paz. Até hoje os homens jogam os jogos de par-ou-ímpar e adedanha da forma como foram ensinados pelos deuses, embora, infelizmente, a maioria tenha se esquecido da lição final e continue se extenuando em uma interminável contagem que dá voltas e mais voltas.
Outro artigo sobre adedanha,cliq aqui calculando como os deuses (adedanha)
Em breve mais atualizações, aguarde.
Observação:
- Após terminar seus downloads, passe um antivírus antes de abrir seu arquivo.
- Crie um ponto de restauração no Windows, antes de instalar qualquer programa,ou arquivo .
Sobre a Autor:
Antonio
Blogueiro desde 2007, gaúcho, gosta muito de ler, e é totalmente viciado em internet.
Comecei blogar em 2005, e criei o Matemática na Veia no inicio de 2007.
Sou formado em licenciatura Plena em Matemática pela UFPEL. Servidor Público,e fanático pela Web.
uhauhauhua
ResponderExcluirmuito bom