Análise combinatória - Exercícios de combinações simples II

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Como eu havia prometido, esta, é mais uma bateria de exercícios de análise combinatória para treinar. Aproveite o fim de semana e faça alguns para ficar "fera" em análise. Não se esqueça, que, para você aprender qualquer conteúdo de matemática, tem que treinar muito. Quanto mais repetir os exercícios, mais fácil eles se tornarão, e vai chegar um momento, que você não terá nenhuma dificuldade para resolvê-los. é claro, que sempre terá outros mais difíceis, mas esta é a grande jogada! Temos que enfrentar dificuldades para crescer, e por que não começar encarando alguns exercícios de análise? Não se esqueça de deixar seu comentário e caso queira contribuir com algum artigo, pode entrar em contato comigo. Bom final de semana para todos, e até a próxima postagem!

 

Exercícios de combinações simples

  

1) Quantas equipes de 2 astronautas, podem ser formadas com 20 astronautas?

A={a_1, a_{2 ,}  a_{3 ,} ... , a₂₀ }     Onde,  n=20 e p= 2

Logo, colocando os dados na fórmula de combinações simples, temos:

Ou seja, podem ser formadas 190 equipes.

2) Quantas equipes de 3 astronautas, podem ser formadas com 20 astronautas?

A={a_1, a_{2 ,}  a_{3 ,} ... , a₂₀ }     Onde,  n=20 e p= 3

Ou seja, podem ser formadas 1140 equipes.

3) Quantas equipes de 4 astronautas, podem ser formadas com 20 astronautas?

A={a_1, a_{2 ,}  a_{3 ,} ... , a₂₀ }     Onde,  n=20 e p= 4

Logo, colocando os dados na fórmula de combinações simples, temos:

 

 


Ou seja, podem ser formadas 4845 equipes.

4) Quantas equipes diferentes de vôlei podem ser escaladas, tendo à disposição 10 meninas que jogam em qualquer posição? 

A= {a_1, a_2, a_3,..., a_10}     Onde, n=10 e p= 6, pois temos que uma equipe de vôlei é formada por 6 atletas.  Logo, colocando os dados na fórmula de combinações simples, temos:

Ou seja, podem ser formadas 210 equipes de vôlei.

5) Quantas equipes diferentes de vôlei podem ser escaladas, tendo à disposição 15 meninas que jogam em qualquer posição? 

A= {a_1, a_2, a_3,..., a_15}     Onde, n=15 e p= 6, pois temos que uma equipe de vôlei é formada por 6 atletas.  Logo, colocando os dados na fórmula de combinações simples, temos:

Ou seja, podem ser formadas 5005 equipes de vôlei.

6) Numa prova de 10 questões, o aluno deve resolver apenas 6.De quantas maneiras ele poderá escolher essas 6 questões?

A= {a_1, a_2, a_3,..., a_10}     Onde, n=10 e p= 6, Logo, colocando os dados na fórmula de combinações simples, temos:

 

Ou seja, o aluno pode escolher as questões de 210 maneiras diferentes.

7) Numa prova de 7 questões, o aluno deve resolver apenas 5.De quantas maneiras ele poderá escolher essas 5 questões?

A= {a_1, a_2, a_3,..., a_7}     Onde, n=7 e p= 5, Logo, colocando os dados na fórmula de combinações simples, temos:

 

 

Ou seja, o aluno pode escolher as questões de 21 maneiras diferentes.

8) Uma associação tem uma diretoria formada por 10 pessoas das quais, 6 são homens, e 4 são mulheres.

De quantas maneiras podemos formar uma comissão dessa diretoria que tenha 3 homens e 2 mulheres?

C_{6, 3 .} C_{4, 2}    Fazendo     
 
, e

  



Agora, multiplicamos os resultados.

C_{6, 3 .}C_{4, 2}  = 6.20 = 120  maneiras de formar uma comissão com 3 homens e 2 mulheres.

9) Uma urna contém 5 bolas azuis e 4 bolas vermelhas. De quantas maneiras podemos selecionar:

a) 3 bolas?

b) 3 bolas azuis e 2 vermelhas?

c) 3 bolas vermelhas e 2 azuis?

a) Observe que temos um total de 5 +4= 9 bolas dentro da urna.

Logo temos n=9 e  p_bolas = 3 . Logo, para n=9 e p_bolas =3 temos:

  

 
maneiras diferentes.

 

b) Observe que temos um total de 5 +4= 9 bolas dentro da urna.

Logo temos n=9, p_azuis = 3 e p_vermelhas = 2. Logo, para n=9, p_azuis = 3 e p_vermelhas = 2 temos:

Das 5 bolas azuis arranjamos três a três, e das 4 bolas vermelhas arranjamos duas a duas. Então ao montar temos a seguinte multiplicação:

C_{5, 3  .} C_{4, 2  .} Fazendo

 
, e

Logo, multiplicando os resultados encontrados nas combinações acima, temos:

6.10=60 maneiras diferentes.

c) Observe que temos um total de 5 +4= 9 bolas dentro da urna.

Logo temos n=9, p_azuis = 2 e p_vermelhas = 3. Logo, para n=9, p_azuis = 2 e p_vermelhas = 3 temos:

Das 5 bolas azuis arranjamos duas a duas, e das 4 bolas vermelhas arranjamos três a três. Então ao montar temos a seguinte multiplicação:

C_{5, 2  .} C_{4, 3} . Fazendo

, e

Logo, multiplicando os resultados encontrados nas combinações acima, temos:

4.10=40 maneiras diferentes.

Mais exercícios e dicas em:

Apostila com exercícios e resolução completa . Para conferir os resultados, use o super software MathSys. Em análise combinatória você tem as seguintes conteúdos disponíveis:

Permutações, permutações com elementos repetidos, arranjos simples, combinação simples, exercícios com desenvolvimentos, além de dicas de softwares para auxiliar no desenvolvimento dos seus exercícios.

Para baixar este conteúdo no formato PDF.  

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REFERÊNCIAS

BACHX, A. de; POPPE, L. M. B.; TAVARES; RAYMUNDO N. O. – Prelúdio à Análise Combinatória. Companhia Editora Nacional. 1975

CARVALHO, P. C. P; LIMA, E. L.; MORGADO, A. C; WAGNER, E. – A Matemática do Ensino Médio. Vol. 2. Coleção do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática. 1998

CARVALHO, J. B. P; CARVALHO, P. C. P; FERNANDEZ, P; MORGADO, A. C de O. – Análise Combinatória e Probabilidade. Coleção do Professor de Matemática.

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Sobre a Autor:

Antonio Blogueiro desde 2007, gaúcho, gosta muito de ler, e é totalmente viciado em internet. Comecei blogar em 2005, e criei o Matemática na Veia no inicio de 2007. Sou formado em licenciatura Plena em Matemática pela UFPEL. Servidor Público,e fanático pela Web.