[♀]Matemática na Veia 2007-2016 O Blog do Estudante Inteligente
Adrien Marie Legendre (1752 - 1833)
Adrien [ Adrian ] Marie Legendre nasceu em Toulouse em 18 de setembro de 1752, e
morreu em Paris em 10 de janeiro de 1833. Pertenceu a uma geração de grandes matemáticos
a exemplo de Lagrange [1736-1813], Laplace [1749-1827], Monge [1746-1818] e
Gauss [1777-1855]. Ele foi educado no Colégio Mazarin, uma das escolas mais
avançadas do século XVII, em Paris, durante cinco anos, de 1775 a 1780, trabalhou junto
com Laplace, quando ambos lecionavam na École Militaire de Paris.
Colégio Mazarin, também conhecido como “O
Collège des Quatre-Nations” - Gravura de Israel Silvestre, ca. 1670.
Em 1792 Legendre se casou com Marguerite-Claudine Couhin com a qual conviveu por 40 anos, sem deixar herdeiros. Em uma carta a Jacobi de 30 de junho de 1832, Legendre revelou que foi a sua tão amada esposa que no final de sua vida o ajudou a restaurar progressivamente os negócios, o que me proporcionou essa tranquilidade de espírito necessária para me dedicar aos meus trabalhos habituais e para produzir novas obras. Conforme Legendre.
Foi membro da comissão anglo-francesa, que em 1787, que,
com base nos observatórios de Greenwich e Paris, calculou a medida da circunferência
da Terra usando triangulação geodésica, além disso, presidiu à comissão para a
normalização do sistema decimal. Este trabalho
resultou em sua eleição para a Royal Society de Londres em 1787 e também a uma
importante publicação que contém o Teorema de
Legendre sobre Triângulos Esféricos.
1. Teorema
Seja um triângulo esférico ABC, de área S e lados α, β, γ
cujos comprimentos em relação ao raio da esfera a qual pertence o triângulo são
pequenos. Seja também um triângulo plano A', B', C', de área S', e cujos lados
são do mesmo comprimento dos correspondentes do triângulo ABC.
1.1. Legendre estabeleceu que, sendo α, β, γ os comprimentos
dos lados de um triângulo geodésico ABC no elipsóide e o triângulo plano A'B'C'
com lados de mesmo comprimento, ambos tem a mesma área. S=S'
1.2. Os ângulos dos triângulos esféricos ABC são iguais aos
correspondentes ângulos do triângulo plano A'B'C'(acrescidos de 1/3 do excesso
esférico (ξ).
Em 1782, ganhou um prêmio de pesquisa da Academia de Berlim com seu trabalho
Recherches sur la trajectoire des projectiles dans
les milieux résistants [Trajetórias
de projéteis em meios resistentes] sobre
balística exterior. A tarefa real foi
dada como segue: "Determine a curva descrita por balas de canhão
e bombas, considerando a resistência do ar, e apresente as regras para obter as
variações correspondentes às diferentes velocidades iniciais."
O trabalho de Legendre foi motivado pelo movimento
de projéteis, levando em conta pela primeira vez novos fatores, tais como
resistência do ar e velocidades iniciais. Legendre analisou a curva descrita
pelas pesadas bolas [ projéteis] de canhão, levando em consideração a
resistência do ar e desenvolveu relações para alcance, dadas as velocidades
iniciais. Desenvolveu estas equações baseando-se em seu trabalho avançado em
equações diferenciais e cálculo de várias variáveis.
Em 13 maio de 1791, tornou-se um dos seis membros da
seção de matemática da Académie des
Sciences, que foi fechada em 1793 e reaberta em 1795 como Institut National des Sciences et des Arts
e, mais tarde, em 1803, Napoleão Bonaparte reorganizou a Academia e criou um
Departamento de Geometria onde Legendre foi escolhido para ocupar o cargo. Em
1824, como resultado de sua recusa a votar no candidato do governo do Instituto
Nacional, sua pensão da École Militaire foi cancelada pelo Ministre de l'Intérieur do governo ultra-realista, o conde de
Corbière, onde trabalhou de 1799
a 1815 como examinador de matemática de estudantes de
artilharia.
Considerando os matemáticos que atuaram na época da revolução francesa,
os trabalhos de Legendre eram de uma ordem de excelência e grandeza excepcionais,
sendo superados somente pelos produzidos por Lagrange e Laplace. Suas
principais obras foram:
Éléments de Géométrie, publicado em Paris, 1794, por Firmin
Didot [14 Abril 1764 – 24 Abril
1836].
O livro,
além de ter sido adotado no ensino de geometria nas escolas secundárias da França,
também o foi em outros países, uma vez que a obra assumiu muito rapidamente o primeiro
lugar entre os livros clássicos de geometria. As edições posteriores contêm os elementos de
trigonometria, e provas da irracionalidade do π e π 2 . Um apêndice sobre a difícil
questão da teoria de linhas paralelas
foi emitido em 1803, e está ligado com a maioria das edições subseqüentes.
Em menos de trinta anos, teve mais de quatorze edições, a primeira atingiu um grande número de tiragens e foi traduzido praticamente em todas as línguas da Europa. Na época, bateu o recorde de mais de cem mil exemplares vendidos, o que assegurou uma fortuna para o seu autor.
O livro
foi traduzido para o árabe e adotado nas escolas do Egito estabelecidas pelo vice-rei
Méhémet-Ali (BEAUMONT, 1864, p. LIX, LX). Dhombres (1989,p. 628,) ainda
ratifica que, anteriormente ressaltamos na biografia de Legendre o sucesso de
seus Elementos de Geometria. Sucesso tão extraordinário por causa do rigor
euclidiano que trouxe de volta o raciocínio pelo absurdo e a construção
axiomática de resultados geométricos. No início do século XX o livro de
Legendre, juntamente com os Elementos de Euclides, se tornou uma referência no
ensino superior de geometria nos Estados Unidos.
Houve uma tradução em português do texto de Legendre por Manoel Ferreira de Araújo Guimarães, publicada em 1809 pela Regia Officina Typografica, no Rio de Janeiro, mas sem o prefácio. Éléments de Géométrie foi o texto elementar principal sobre o tema durante cerca de 100 anos. Este texto reorganizou e simplificou muitas das proposições dos elementos de Euclides para criar um livro mais eficaz.
Théorie
des nombres. A primeira edição foi publicada em 1798, a qual foi adicionada
apêndices em 1816 e 1825, a
terceira edição foi publicada em dois volumes no ano de 1830, que além de seus
próprios estudos, contém trabalhos de Euler
e Lagrange sobre resolução de
equações e formas quadráticas, teoremas de Pierre
de Fermat, tabelas sobre números
primos e, sobretudo, a lei de reciprocidade dos resíduos quadráticos que
estabelece uma relação particular entre dois números primos ímpares.
O impacto
causado por suas obras em Teoria dos Números na comunidade matemática francesa
da época e as contribuições do autor à ciência antes e depois da publicação da
obra revelou que Teoria dos Números, obra à qual o autor consagrou mais da metade
de sua vida no intuito de aperfeiçoá-la, tornou notória a honra que lhe é
devida como o primeiro tratado de uma Aritmética superior que tanto inspirou a
outros matemáticos para o avanço dessa ciência no século XX.
O primeiro trabalho
de Legendre em Teoria dos Números, Estudos
sobre a Análise Indeterminada, foi publicado pela Academia de Ciências de
Paris em 1785. Composto de 95 páginas, esse trabalho se encontra dividido em
quatro artigos, contendo em particular, o seu célebre teorema de reciprocidade quadrática.
O terceiro artigo, Um Teorema sobre a possibilidade das Equações
Indeterminadas do Segundo Grau” (LEGENDRE, 1785, p. 507-513), é um estudo sobre
as equações do tipo Ax2 + bxy
+ cy2 + dx +
ey + f = 0 , reduzidas na forma x2 – By2 = A, onde x e y são indeterminadas, a, b, c, d, e, f números
inteiros, e A, B inteiros positivos sem fatores quadrados com A > B.
Além destes, ele escreveu o tratado Nouvelles méthodes pour la détermination
des orbites des cometes [ publicado em 1805], obra fundamentada na Estatística e no sistema de equações
do primeiro grau, deu origem ao Método
dos Mínimos Quadrados ( moindres carrés ) [ MQO ou OLS - do inglês Ordinary Least Squares).
Nela Legendre criou uma régua de cálculos na determinação de pequenas medidas
das trajetórias de cometas.
Posteriormente, dois suplementos lhe foram acrescidos em 1810 e 1820, uma
sobre a Teoria
das atrações, e a outra sobre as Operações Geodésicas.
As memórias sobre as atrações são analisados e
discutidos em History of the Mathematical Theories of
Attraction and Figure of the Earth from Newton to Laplace - História da Teoria Matemática da Atração
(1873) de Isaac Todhunter [Rye, 23 de novembro de 1820 - Cambridge, 1º
de março de 1884].
1º - A mais antiga dessas memórias foi apresentada em 1783, como atração gravitacional de um elipsóide [Recherches sur l'atração des homogeneidade spheroides].
Este contém a introdução dos “Polinômios de Legendre”.
1 – Pn0(Ψ) = Pn0(Ψ) [Polinômios
de Legendre de grau n] são chamados de harmônicos esféricos sazonais.
2 - Pnm (θ) cos (mλ) e Pnm (θ) sen (mλ) [Polinômios de Legendre associados de grau n e ordem m] são chamados de:
a) harmônicos esféricos tesserais, se n≠m.
b) harmônicos esféricos setoriais, se n=m.
Essas equações são frequentemente encontrados em física. Em particular,
elas aparecem quando nós resolvemos a equação de Laplace [um tipo de equação
diferencial parcial] em coordenadas esféricas utilizando o método de separação
de variáveis .
Gráficos dos polinômios de Legendre para n até
5:
A equação diferencial de Legendre pode ser resolvida utilizando o método de série de potências usual. A equação possui um ponto singular regular em x= ± 1 então, em geral, uma solução com séries em relação a origem somente convergirá se |x| < 1. Quando n é um inteiro, a solução Pn(x) que é regular em x=1 é também regular em x = -1, e a série para esta solução é finita [i.e. é um polinômio].
2º - O segundo livro de memórias foi publicado em 1784, e trata sobre a
forma de equilíbrio de uma massa de rotação de um líquido, sendo a mesma aproximadamente
esférica.
3º - O terceiro livro, escrito em 1786, trata sobre a atração de
elipsóides.
4º - O quarto livro é
sobre a figura que um planeta fluido assumiria, e sua lei de densidade.
Seus trabalhos sobre geodésica são em número de três,
e foram apresentados à Academia em 1787 e 1788. O resultado mais importante é
aquele pelo qual um triângulo esférico pode ser tratado como plano, desde que
certas correções são aplicadas aos ângulos.
Os princípios fundamentais para as reduções de ângulos e de
relacionamento entre triângulos planos e geodésicos são expressos pelo Teorema
de Legendre.
Legendre morreu em Paris em 09 de janeiro de 1833,
após uma longa e dolorosa doença. Sua esposa fez um culto a sua memória,
cuidando de seus pertences. Após sua morte, em 1856, ela partiu da sua última
casa no interior do país para a vila de Auteuil, onde o casal viveu e foi
enterrado.
Para mais detalhes sobre a vida e obra de Legendre
acesse o material disponível em Referências Bibliográficas.
O Método dos Mínimos Quadrados, é uma técnica
de otimização matemática que procura encontrar o melhor ajustamento para um
conjunto de dados tentando minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre
o valor estimado e os dados observados [ tais diferenças são chamadas resíduos].
Um triângulo esférico é a união de
três segmentos geodésicos de uma esfera. As suas propriedades são diferentes
das dos Triângulos
Planos e o seu conhecimento é essencial em navegação astronômica, mecânica
de precisão e óptica. A parte da matemática que estuda as relações entre seus
elementos é a trigonometria esférica.
Em breve mais atualizações, aguarde.
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sugestões.
REFERÊNCIAS:
ALMEIDA, R.. Éléments de Géométrie, avec
Notes. Par Adrien- Marie Legendre. – O que Afirma o Próprio Autor sobre Sua
Obra?. Bolema: Mathematics Education
Bulletin = Bolema: Boletim de
Educação Matemática, América do Norte, 23, mai. 2010.
Disponível
em:
Acesso
em: 16 Set. 2011.
Silvia, Maria
Aparecida Roseane Ramos. - Adrien-Marie Legendre (1752-1833) e suas obras em
teoria dos Números / Maria Aparecida Roseane Ramos Silva. – Natal,RN,2010.256f.
Disponível
em:
Acesso
em: 16 Set. 2011.
WW
Rouse Ball. História da Matemática" (4 ª edição, 1908) . Transcrita por DR
Wilkins (dwilkins@maths.tcd.ie) Escola de Matemática Trinity College, Dublin.
Sobre a Autor:
Antonio
Blogueiro desde 2007, gaúcho, gosta muito de ler, e é totalmente viciado em internet.
Comecei blogar em 2005, e criei o Matemática na Veia no inicio de 2007.
Sou formado em licenciatura Plena em Matemática pela UFPEL. Servidor Público,e fanático pela Web.
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