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Breve História da Matemática Atuarial

[♀]Matemática na Veia 2007-2016 O Blog do Estudante Inteligente

Relatos de erros e correções em relação ao português serão bem vindos e podem ser esclarecidos através do RH - Sugestões e Reclamações.

Breve História da Matemática Atuarial
 
A terminologia e as regras de cálculos da teoria dos jogos de azar (ou teoria das probabilidades), introduzidas com a intenção exclusiva de erigir uma teoria matemática para os jogos do acaso, poderiam aplicar-se com bons resultados também a vários problemas de tipos inteiramente diferentes, alguns dos quais escapam ao âmbito da aplicação clássica da teoria em questão. Tal era o caso de, por exemplo, das estatísticas das populações humanas e da teoria matemática dos seguros de vida; dois campos afins, ambos em estado de vigoroso desenvolvimento a partir do Séc.XVII.

Em 1694, o astrônomo Edmond Halley (1656-1742) propôs um processo de cálculo de tábuas de mortalidade. Tais cálculos foram baseados nos boletins de nascimentos e mortes que circulavam em Breslaw no ano de 1691.
“Com os trabalhos de Halley percebeu-se a importância da análise quantitativa nos eventos vitais. Com o advento das tábuas de mortalidade a partir do Séc.XIX, quando a responsabilidade do registro dos eventos vitais transfere-se da Igreja para o Estado e estabelece-se de forma legal, a sua obrigatoriedade em vários países, são impulsionados os estudos em demografia.”

A teoria das probabilidades avançou rapidamente, especialmente devido à elaboração posterior das idéias de Pierre de Fermat (1601-1665), Blaise Pascal (1623-1662) e Christian Huygens (1629-1695); o "Doctrine of chances" de 1716 do Huguenote Abrahan De Moivre (1667-1754), continha ricos elementos da teoria dos jogos de azar, e sua obra "Annunuites upon lives" de 1718, foi de grande importância para a ciência atuarial, pois De Moivre deu um tratamento mais amplo às anuidades. Na matemática atuarial, um tipo de anuidade muito usada, é a chamada “anuidade de vida inteira”, ou seja, uma anuidade vitalícia cujos pagamentos devem continuar enquanto o titular da anuidade estiver vivo.

As freqüentes loterias e companhias de seguros que se organizavam, interessaram a diversos matemáticos, incluindo Leonard Euler (1707-1783) pela teoria dos jogos de azar. O gradual interesse em problemas relacionados com probabilidades foi devido primeiramente ao desenvolvimento dos seguros, mas as questões específicas que estimularam grandes matemáticos a pensarem nesse assunto vieram dos pedidos de nobres que se entregavam aos jogos de acaso, tal como cartas e dados. Nas palavras de Siméon - Denis Poisson (1781-1840): “Um problema relativo aos jogos de azar, proposto a um jansenista austero por um mundano, esteve na origem do cálculo de probabilidades.” Este “homem do mundo” era o Chevalier de Mére, que propôs a Pascal uma questão relacionada com o chamado "probléme des points".

Um outro capítulo muito interessante da história da matemática dos seguros, foi o desenvolvimento do conceito de esperança matemática. O “problema da esperança” foi proposto por Nicolaus Bernoulli (1695-1726) e posteriormente tornou-se conhecido como o “Paradoxo de São Petesburgo”. Na matemática dos seguros de vida, é importante saber se, numa certa aposta, uma pessoa faz um bom negócio ou não. Isto é dado pela esperança matemática, que é definida como o produto da probabilidade de ocorrência de um acontecimento pelo valor do prêmio que a pessoa recebe se ganhar.

Exemplo: Numa rifa de cem números está em oferta um prêmio no valor de 2000 reais. Cada bilhete custa 40 reais. O comprador está fazendo um bom negócio?

Solução:
Probabilidade de sucesso= 1/100; Valor do prêmio= 2000; Preço do bilhete =40.
E(M)= 1/100 x 2000 = 20. Conclusão: O preço justo a ser pago pelo bilhete seria de 20 reais.
Também com construção de tábuas de nascimentos e mortes se ocupou o francês Pierre-Simon Laplace (1749-1827). Isso fica em evidência em sua obra "Essai philosophique des probabilités" de 1814. Mostraremos de forma resumida o processo usado por laplace. O mesmo usa o seguinte raciocínio:

Ao = Número de pessoas que não completaram 1 anos.
A1= Número de pessoas que completaram 1 ano , mas não completaram 2 anos.
A2= Número de pessoas que completaram 2 anos, mas não completaram 3 anos.
A n = Número de pessoas que completaram “N”anos, mas não completaram n+1 anos.

Exemplo de aplicação: Qual a probabilidade de que uma pessoa de 30 anos viva pelo menos mais 5 anos?

Solução: 
Basta olhar na respectiva tábua os valores que correspondem ao A30 e ao A35, pois no nosso problema a pessoa viverá mais cinco anos. Sendo K o número de pessoas com 30 anos e Y o número de pessoas com 35 anos, basta usar a definição de probabilidades que é o número de casos possíveis dividido pelo número de casos favoráveis; assim teremos:
P= A35/ A30 = Y/K. 

Desta divisão, encontraremos um número H que será a respectiva probabilidade.

Depois de Laplace, a estatística e a matemática dos seguros de vida evoluíram de forma consistente. A demografia ganhou corpo com os trabalhos de Adolph Quetelet (1796-1874) sobre Antropometria; a Escola Biometricista nas figuras de Francis Galton (1822-1911) e Karl Pearson (1857-1936) contribuiu de forma decisiva para os métodos de mensuração em biologia; e os trabalhos de Antoine Augustin Cournot (1801-1887) e Francis Ysidro Edgeworth (1845-1926) apontaram para a importância das probabilidades no tratamento matemático dos fenômenos econômicos. A ciência atuarial acompanhou de perto esta evolução, fornecendo bases estatísticas para a formação de uma ciência “forte”, capaz de assegurar a estabilidade financeira das pessoas que participam dos chamados “planos de previdência”. O atuário é o profissional, que entre outras atividades, tem a prerrogativa para desenvolver planos de seguros, calculando probabilidades de eventos, avaliando riscos, fixando prêmios e indenizações e buscando os benefícios para uma política de investimento e amortização.
 
Erick Crisafuli 
Nascido em Barbacena/MG – Especialista em matemática e estatística pela Universidade Federal de Lavras/MG. Mestre em História da Ciência Pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo com pesquisa em História da Estatística e da Matemática Atuarial, sendo orientado pelo Prof.Dr.Ubiratan D’Ambrosio. Faz parte do grupo de História da educação matemática e de Etnomatemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, tendo como responsável o Prof.Dr.Ubiratan D’Ambrósio.
e-mail: ecrisafuli@yahoo.com.br
Barbacena -MG

[Está autorizada a reprodução deste texto. Solicita-se que a fonte seja mencionada e linkada].

Fonte do artigo original: http://www.arscientia.com.br/
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Antonio Sobre a Autor:
Antonio Blogueiro desde 2007, gaúcho, gosta muito de ler, e é totalmente viciado em internet. Comecei blogar em 2005, e criei o Matemática na Veia no inicio de 2007. Sou formado em licenciatura Plena em Matemática pela UFPEL. Servidor Público,e fanático pela Web.
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4 Comentários:

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