Identidade de Euler

Obra de Leonhard Euller

O artigo de hoje é dedicado à Identidade de Euler – sem sombra de dúvidas esta é a fórmula mais notável de todas as áreas da matemática. De acordo com Richard P. Feynman, “esta seria a identidade mais bela de toda a Matemática”. A equação aparece na obra de Leonhard Euler “Introdução”, publicada em Lausanne em 1748. Pode-se dizer ainda mais, esta beleza é singular, pois a identidade encerra no seu contexto cinco constantes matemáticas não menos envolventes e misteriosas além de três funções aritméticas  [ adição, multiplicação e exponenciação].

O Número 0.  Zero [0, ou valor nulo — sem representação nos números romanos] é o número que antecede o inteiro positivo um, e todos os números positivos, e sucede o um negativo (−1), e todos os números negativos. Ele é definido como a cardinalidade de um conjunto vazio, e o elemento neutro na adição e absorvente na multiplicação.

O Número 1. O um (1) é o número inteiro que segue o zero e antecede o dois, sendo o segundo número natural. O um é o elemento neutro do produto, ou seja, qualquer número a multiplicado por 1 resulta em a.

O número e é a base dos logaritmos naturais.

O número i  é a unidade imaginária [número imaginário com a propriedade  

 i ² = -1  →  i = √-1 .]

O número π é a constante de Arquimedes Pi [π, a razão entre o perímetro e o diâmetro de qualquer circunferência].  π ≈ 3.14159

Então se você ainda não conhece, apresento-lhe a Identidade de Euler.

IDENTIDADE DE EULER :

Combina 5 constantes matemáticas de diferentes áreas:

Demonstração pela série de Taylor:

Primeiro estabelecemos que:  e^iθ = Cos (θ) + i.Sen(θ),  usando a série de Taylor para a demonstração.  

Agora, fazendo (θ ) = π , e lembrando que sin π =0 e cos π = -1 de modo que e^iπ = Cos(π)+ i.Sen(π) = -1 + i.0 = -1 Donde  e^iπ + 1=0

O bom entendimento da “Identidade de Euler” auxilia, junto com outras operações matemáticas e estudos de física, e também na compreensão das equações que regem o funcionamento de muitos fenômenos da natureza.

Exemplos de algumas aplicações: 

- Física e física matemática em fenômenos harmônicos.

- Engenharia mecânica [mecânica dos fluidos e termodinâmica].

- Engenharia elétrica e eletrônica [eletromagnetismo, teoria dos circuitos etc].

- Engenharia telecomunicações [processamento de sinais, propagação de ondas etc].

- Engenharia civil [hidráulica, cálculo estrutural para estrutura dinâmicas, etc].

- Todas as demais áreas onde ocorrem fenômenos harmônicos.

“Cavalheiros, que isto certamente seja verdadeiro é absolutamente paradoxal; não podemos entender a fórmula, não sabemos o que significa. Mas conseguimos prová-la e, portanto sabemos que deve ser verdade.”

BenjaminPierce, um dos principais matemáticos de Harward no século XIX, a respeito da identidade de Euler, e^iπ  = -1

Assine aqui, o Feed do Matemática Na Veia , e receba por e-mail os artigos do blog. Fique por dentro das novidades, e curiosidades da matemática.

Veja mais  sobre Leonhard Euller  no blog.

Em breve mais atualizações, aguarde!

Se você quer cooperar com dicas, programas, artigos. Fique a vontade, e mande um e-mail para caco36@ibest.com.br ,ou comente aqui mesmo, por enquanto é só. Agradeço antecipadamente, comentários, dicas, criticas e sugestões.

REFERÊNCIAS: 

http://www.titaniumringsforever.com/                  

http://pt.wikipedia.org/wiki/Identidade_de_Euler    

http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_identity.             

http://pt.wikipedia.org/wiki/Richard_Feynman        

http://www-Peirce_Benjamin.html