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Potenciação com expoentes racionais,irracionais e reais

[♀]Matemática na Veia 2007-2016 O Blog do Estudante Inteligente

Relatos de erros e correções em relação ao português serão bem vindos e podem ser esclarecidos através do RH - Sugestões e Reclamações.

POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONAL

teaser basic mathNo artigo de hoje veremos qual o significado da representação de potência racional onde aq , com a positivo e p = m/n é um número racional, m  Z , n Z* , de modo que a propriedade fundamental vista nos tópicos anteriores continue válida.

O conjunto dos números racionais é formado por todos os números que podem ser escritos na forma  m/n , onde m é um número inteiro qualquer e n um número inteiro qualquer diferente de zero.  É indicado pela letra maiúscula Q, e representado da seguinte forma:
Q = {x | x = m/n, m  Z , n Z*

De modo geral, baseando-se na propriedade fundamental, temos:  ap .aq = ap+q , deste modo, fazendo p = 1/n , teremos :

propriedade fundamental potencia raiz racional

Vejamos alguns exemplos:

Do mesmo modo anterior, preservando a propriedade fundamental, e fazendo p = m/n, teremos:

definição numero real positivo

Vejamos exemplos da definição acima:
exemplos de definição de potenciação

Potência com expoente irracional

Trabalhamos até agora com expoentes naturais, inteiros e racionais vistos no início deste artigo. Veremos agora uma forma de caracterizar potências com expoentes irracionais, ou seja, números que pertencem ao conjunto dos números irracionais.

Veja alguns exemplos de números irracionais:

valores irracionais fracionários
Usando a relação de Pitágoras, podemos representar alguns destes valores sobre a reta numérica.

representação geometrica da raiz quadrada de dois 2

Quando o teorema de Pitágoras é aplicado a um triângulo com dois lados que equivalem a um, tem-se como resultado a hipotenusa dada peça equação c2 = 12+12 = 2 , logo temos que c = triangulo de pitágoras e raiz quadrada de 2 

Representação geométrica da raiz quadrada de 2
raiz quadrada do numero dois

Curiosidades 1 :

Acredita-se que demonstração conjunto irracionais tenha sido o primeiro número irracional reconhecido como tal. Esta importante descoberta é atribuída a Hipaso de Metaponto, da escola de Pitágoras. Conta-se mesmo que a demonstração tenha custado a vida de seu descobridor, uma vez que contrariava as idéias predominantes entre os pitagóricos de que tudo era número inteiro.

Fonte:http://pt.wikipedia.org/wiki/Raiz_quadrada_de_dois 

Fica evidente que nem sempre a raiz de um número racional é um número racional.  Para que a teoria dos números racionais evoluísse foi necessário o avanço dos estudos sobre infinitos e geometria analítica. Foram alguns séculos para que, entre tantas contribuições, chegássemos ao século xix com Dedekind (J.W.R. Dedekind, 1831-1916) e Cantor (George Cantor, 1845-1918), dando rigor científico a esta teoria.

            Curiosidades 2 :

- O número p (PI) é obtido dividindo-se a medida do comprimento de qualquer circunferência pela medida de seu diâmetro.
- O número irracional p (PI) foi calculado com o auxílio de um computador, obtendo-se 1,2 trilhões de casas decimais sem que tenha surgido uma decimal exata ou dizima.  


conjuntos de irracionais por aproximação

Para facilitar os cálculos podemos usar uma calculadora, e verificar que:
21        =  2
21.4     = 2,639015,
21.41   = 2,657371,
21414  = 2,664749, ...     dois elevado a raiz quadrada de dois - 2^sqrt(2)    = 2,665144...
 
Desta forma obtemos por aproximação de racionais, a potência de an , com n irracional e a um número real positivo. 

História DOS IRRACIONAIS:

“Filolau, filósofo pitagórico (século IV a.C.) , foi um dos primeiros a escrever sobre os números irracionais. Segundo ele, e outros eruditos que viveram em épocas posteriores aos pitagóricos, os números irracionais foram descobertos por Pitágoras e seus discípulos. A existência de tais números foi deduzida do famoso TRIÂNGULO DE PITÁGORAS. Os pitagóricos perceberam que era impossível escrever o número obtido como razão de dois números inteiros. Na época em que a avassaladora descoberta foi feita, os pitagóricos constituíam uma sociedade bem estabelecida, dedicada ao estudo do poder e do mistério dos números...”

Fonte:  ACZEL, Amir D. O mistério do Alef : A matemática, a cabala e a procura pelo infinito. Editora Globo S.A. , 2003. Titulo original: The mistery of the Aleph

POTÊNCIA COM EXPOENTE REAL.

Até o momento vimos como trabalhar com potências nos conjuntos numéricos dos números naturais, inteiros, racionais e irracionais. Agora veremos um pouco sobre os números reais revendo algumas propriedades através de alguns exercícios. Os números racionais unidos com os irracionais resultam no conjunto dos números reais, pois todo número racional ou irracional é também um número real.

Veja a figura abaixo, onde temos a união dos conjuntos racionais representados pela letra maiúscula Q e os irracionais representados pela letra maiúscula I.
união dos conjuntos racionais e irracionais

Observe que através da representação do conjunto universo, podemos interpretar  as propriedades vistas nos conteúdos anteriores, que  devem ser mantidas quando trabalhamos no conjunto dos reais. São exemplos de potências com expoentes reais:

Observação: Quando a=0 ou a < 0, algumas potências de base a estão definidas em R, mas outras não. Por exemplo:
exemplos de exponenciação irracional

Como os números reais são o resultado da união dos números racionais e dos números irracionais, a potência com expoente real será o resultado das definições vistas para estes conjuntos respectivamente. 

irracionais e fração na forma de potência

Vamos praticar um pouco revisando através de exercícios!    Para conferir seus resultados use as calculadoras do blog.        

Veja os exercícios nos arquivos para downloads. 
IR PARA O CONTEÚDO  POTENCIAÇÃO

Tópicos do conteúdo:

1 - Potenciação:Histórias e Rimas 
2 - Potência de expoente natural: Introdução.
3 - Potência de expoente inteiro. 
4 - Potências de números Racionais,Irracionais e Reais. 
Por enquanto ficaremos por aqui. No próximo artigo vamos descobrir algumas aplicações que envolvem as propriedades do triângulo Aritmético.  
Se você é aluno, professor, ou simplesmente um apaixonado pela matemática, e gostaria de cooperar com dicas, indicar algum blog legal de matemática, ou que seja relacionado à educação, programas legais que conhece, artigos, trabalhos de escola. Mande um e-mail para caco36@ibest.com.br,ou comente aqui mesmo. Agradeço sua cooperação, comentários, dicas, críticas e  sugestões.
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BIBLIOGRAFIA:

GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Ângela (org). Por trás da porta, que a matemática acontece. Campinas:UNICAMP , 2001.
IMENES, Luiz. ; LELLIS, Marcelo. Matemática. 5a a 8a  série . Scipione, 1998.
BIGODE, Antonio José Lopes, 1955 – Matemática hoje é feita assim / Antonio José Lopes Bigode, - São Paulo:FTD, 2000. 5a série.
GIOVANNI, José Ruy; 1937 – A conquista da matemática – Nova / José Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1998.
IMENES, Luiz. ; LELLIS, Marcelo. Matemática. 5a a 8a  série . Scipione, 1998. 

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Antonio Sobre a Autor:
Antonio Blogueiro desde 2007, gaúcho, gosta muito de ler, e é totalmente viciado em internet. Comecei blogar em 2005, e criei o Matemática na Veia no inicio de 2007. Sou formado em licenciatura Plena em Matemática pela UFPEL. Servidor Público,e fanático pela Web.
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21 Comentários:

  1. Aí não sou muito chegada nessa parte da potenciação, estou me esforçando ao máximo para entender. Adorei o post!!!

    Obrigada
    Mari

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  2. Oi.Gosto das matérias português e literatura,mas matemática também chama a minha atenção,parabém,esse post está ótimo.

    Abraços,Lúcia

    24/06/010

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  3. Não é um conteúdo muito fácil mesmo Mari, mas nada que um pouco de treino não resolva. Obrigado pela visita e um abraço!

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  4. Que bom Lúcia! Para gostar de matemática é necessário ter bastante domínio do nosso idioma, logo você tem um grande trunfo gostando de português. Resta treinar bastante a matemática e aprender a gostar dela principalmente da parte histórica que nos ensina muito sobre a mesma.
    Um abraço!

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  5. me ajuden nao entedi foi nada

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  6. Achei a calculadora um recuso bastante interesante para posta em um blog relacionado a matemática gostaria de posta-lo ao nosso se possivel!

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  7. Olá amei seu blog nossa ficou shoe de bola, até pq eu amo matemática, aí que tal vc me seguir eu tenho um, mas fiz por agora, ficarei grata. E pede seus amigos para me ajudarem.

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  8. veja bem não entendi ainda como calcular as potencias com expoentes irracionais, não sei como voce achou aqueles resultados de eu multipliquei na calculadora e meu resultado deu 2,8 e o seu deu 2,63 queria saber se voce multiplicou e como foi ou oq voce fez??

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  9. Já passei no teu blog Jaque. Deixei um comentário e um abraço.

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  10. Por favor, poderia me ajudar a resolver o seguinte problema : Qual o resto da divisão de 3 elevado a 541,  por 20?

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  11.  JIPIVI, não sei se foi você que fez a pergunta mas já foi respondida aqui...

    http://pir2.forumeiros.com/t24422-resto-de-divisao

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  12.  Não, não fui eu, mas fui no link indicado e não consegui entender a resolução... pq ele diz que 541 = (134*4) + 5 e não que 541 = (135*4)+1 ? Será que teria uma resposta com uma explicação mais clara? Obrigado

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  13. queria aprendre sem quebrar a cabeça
    esse negocio de matematica é muito díficio


    bom mas agora to aprendendo a raciocinar

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  14.  Jipivi da no mesmo pois se você fazer a divião de 541 por 135 dá resto 1  , e 3^1=3    , divide 3 por 20 temos resto 3 pois:
    Todas vez que o Dividendo for MENOR que o divisor, o resto da divisão será o próprio dividendo. 

    O único passo que mudaria seria este "A divisão de 243 por 20 tem resto 3."  pois você teria 235 que é  o quociente. 

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  15. este site è uma m de merda essa porra de google não busca o que eu quero e ainda dizem q o google resolve tudo o q vcs qerem issooooo è uma mentira da qelas q porra!!!

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  16. tenho que aprender até hj pq amanha os alunos vão dar aula valendo 5 pontos 

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  17. Preciso de ajuda. Não sei como solucionar a questão: um numero natural elevado a 5 é igual a 243. Sei que a resposta é 3 , pois 3 elevado a 5 é igual a 243, mas como chegar passo a passo e encontrar este resultado?

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  18. Hola só o simão kabuiku Evaristo e que eu gosto da matematica porque sonho em ser um mat.fisico e concluindo e que ela e uma ciência que estuda os números.

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  19. Preciso de umaajudinha resolver isso 1000=500*(1+x)^10 pode ser? Obs.: se puder explicar bem a respeito de resolver potências com número e letra agradeço. (weisman-@hotmail.com)

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