CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)
Observe que dado a ∈ Z, a ≠ 1, então 1/a ∉ Z.
Assim como os naturais surgiram da necessidade de contar, os números racionais surgiram da necessidade de medir.
Na Grécia por volta de
Vamos deixar claro, que a ordem cronológica do surgimento dos números não esta apresentada aqui, ou seja, naturais, inteiros e racionais. Os números negativos levaram muito tempo para serem aceitos pela comunidade científica. Alguns matemáticos consideravam os números negativos "numeri absurdi" ou "numeri ficti" como absurdos. A situação só mudou a partir do (Séc.XVIII) quando foi descoberta uma interpretação geométrica dos números positivos e negativos como sendo segmentos de direções opostas.
Define-se então o conjunto dos números racionais denotado por Q, da seguinte forma:
Q = { b/a , onde a ∈ Z e b ∈ Z*}, onde Z* é o conjunto dos inteiros diferentes de zero.
Como podemos representar qualquer inteiro z por z/1 , temos que Z ⊂ Q .
Observações:
1) A letra Z utilizada para representar o conjunto dos números inteiros, provém da palavra alemã "Zahl" que significa número ou algarismo.
2) A palavra racional vem do Latim ratio = razão também entendida em Matemática como divisão. Assim, um número racional é a divisão entre dois números inteiros, ou seja, a/ b
=a:b
1.4.1 Adição
Como somar duas frações?
Por exemplo, como se calcula 2/5+1/3.
Podemos representar a fração 2/5 da seguinte forma:
Para acrescentar a isso 1/3 , como proceder se nosso todo é constituído de 5?
Precisamos dos múltiplos, assim vamos representar o 2/ 5 utilizando seu múltiplo 6/15 , sem esquecer que ele foi obtido repetindo 2/5 três vezes, ou seja 2/5=6/15
Agora, se temos um todo constituído de 15, podemos representar 1/3 seguindo o seguinte raciocínio, dividindo 15 por 3 temos 5, assim, podemos tomar 5 de 15 para representar 1/3
Considerando um todo de 15, observe.
1/3=5/15
Assim, como adicionar significa juntar ou unir, temos 6 + 5 de 15.
11/15, portanto, 2/5+1/3 = 6/15+5/15 = 11/15
Para podermos adicionar duas frações devemos sempre encontrar frações equivalentes de modo a trabalhar sobre o mesmo TODO. Como uma fração representa uma divisão, esse todo deve ser escolhido de modo que seja divisível pelos dois denominadores.
A forma mais rápida de encontrar o TODO que seja adequado para as duas frações é tomando o produto entre os dois denominadores, como foi feito no exemplo recém mostrado (3 x 5), o qual com certeza é divisível pelos dois denominadores.
Outra forma, que nos é ensinada lá no Nível Fundamental de Ensino, é que o todo seria dado pelo mínimo múltiplo comum entre os dois denominadores, o que obviamente seria o menor número que é divisível por eles.
Assim,
Onde m = mmc(a, b)
1.4.2 Multiplicação
Como multiplicar duas frações?
Por exemplo, como calcular 2/5 . 1/3
Multiplicar 2/5 por 1/3 é equivalente a tomar a terça parte de 5 Mas, como fazer isto?
2/5
Se tivermos duas partes de cinco, como tomar um terço de dois. Para solucionar esse problema devemos proceder da mesma forma que o fizemos para a soma, ou seja, vamos ter que encontrar uma fração equivalente a 2/5 de modo que seja possível tomar um terço.
Então, repetindo três vezes 2/5, temos:
2/5= 6/15
Agora, fica fácil tomarmos um terço de 6. Ou seja: 2/15
2/5.1/3=2/15
Observe que o produto entre duas frações é uma nova fração onde o numerador é o produto dos dois numeradores e o denominador e o produto dos dois denominadores, como nos foi ensinado do Nível Fundamental de Ensino. Ou seja,
ab.c/d = a.c/bd
E para complementar a matéria sobre números Racionais, vou deixar o endereço de um site que na minha opinião é o melhor lugar para você aprender sobre frações.
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/fracoes/fracoes.htm
e no mesmo site você ode encontrar material disponível falando sobre números Racionais.
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/fracoes/racionais.htm
Ta certo! Eu sei que a matemática é uma disciplina cansativa, que exige bastante exercícios, bastante treinamento. Mas isso pode ser resolvido, se for apresentando para a turma uma curiosidade sobre métodos de cálculo.
Com certeza é um ótimo gancho para começar uma aula sobre números Racionais e frações, e todo mundo vai gostar de saber que existem, ou existiram outras maneiras de calcular, e ainda aproveitamos para dar um impulso na matéria.
Você ficou curioso não é? Então vamos lá.
Um destes métodos é a gelosia, que você pode conhecer aqui mesmo no blog matemática na veia, é só ir até Gelosia.html e se gostar aproveite e baixe esta apostila sobre o assunto, que ensina mais detalhadamente a fazer os cálculos através do método da gelosia.
O método da Gelosia pode ser inserido no final do capítulo "Os números racionais", do 7º ano e para o 8º ano, como curiosidade e motivação para a disciplina de matemática.
Veja também:
Apostila sobre conjuntos numéricos
Pra resolver alguns exercícios, acesse o site matemática na net, e divirta-se.
Não se esqueça de comentar, e deixar suas observações e criticas aqui no blog.
7 Comentários
como mostro que 1/2 não é um número inteiro?
Tudo bem Francisco? Você gostaria de saber como provar que 1/2 não é um número inteiro? Bom! Existem diversas maneiras de provar que dado número não pertence ao conjunto dos inteiros ,mas vou usar uma demonstração que abrange todos os números entre 0 e 1.
Por que entre 0 e 1? Também poderíamos provar que ½ é Racional, mas fica para um artigo.
Então vamos pensar como que já estejamos certo de que ½ é um nº Racional.
Existe uma proposição dos números inteiros que pode ser usada para demonstrar que não existem inteiros entre 0 e 1. Então vamos lá!
Seja um inteiro “a” tal que 0 ≤ a ≤ 1. Então, a=0 ou a=1.
Demonstração:
Supondo por absurdo que existe um número inteiro “a” ≠ 0 e 1 nessas condições.
Assim, o conjunto S= {a ∈ Z / 0 < a < 1} seria não vazio e pelo principio da boa ordem m = min S. Como m ∈ S temos que m>0 e m<1. Multiplicando por m a 2º desigualdade, obtemos m2
< m . assim m2 >0 e, como m <1, aplicando a pr. transistiva temos m2 <1 . logo, m2 ∈ S e é menor que seu elemento mínimo, o que é uma contradição.
Espero que entenda o processo, qualquer coisa deixe seu e-mail e lhe explicarei com mais detalhes. Abraços.
Olá Caco!
Legal... o problema é como explicar uma proposição para um aluno do Ensino Básico. Sou formado em matemática e não tive dificulade nenhuma em entender sua provas (a qual pode ser encontrada em vários livros de álgebra, como por exemplo no livro do Adilson Gonsalves.
Valeu..
Beleza Francisco! Pensei que era apenas uma curiosidade, mas como se trata de mostrar de forma didática para alunos do ensino fundamental, podemos mostrar que ½ não pertence aos inteiros positivos usando a seguinte equação.
1+n= { (n)2 + n} /2
Exemplo:
1+2+3 =6
6 = { (3)2 + 3} /2
6= (9+3)/2
6=6
Esta fórmula dá certo p\ todo número inteiro positivo, mas se você fizer com números racionais, a solução não vai ser correta.
Verificando com ½.
1+1/2= 3/2
3/2={ (1/2)2 + 1/2} /2
3/2={ 1/4 + 1/2} /2
3/2=(3/4) /2
3/2=3/8 o que mostra que ½ não pertence aos inteiros positivos.
Da mesma forma você pode usar exemplos com somas de frações.
No caso, se eu somo números inteiros o resultado será números inteiros, mas se somar frações da forma N/D com D>= 2, N < D, teremos o resultado se aproximando do valor da fração que queremos provar que não é um número inteiro.
Observação: Usando o intervalo (0,1), pois a fração ½ pertence a este intervalo.
A soma de dois números racionais é sempre racional.
verdadeiro ou falso?
De um exemplo para justificar a sua resposta.
nossa pq q vcs colocam no google que site de exercicio e nao tem nda de exercicio caralho..... isso é foda
Sr Anônimo! A idéia do blog é ajudar a entender a matemática. Exercícios é claro que têm. Só que você vai ter que dar uma pesquisada no blog. Tudo de mão beijada não dá né?
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