Conjunto dos números Racionais


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CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)

Observe que dado a ∈ Z, a ≠ 1, então 1/a ∉ Z.
Assim como os naturais surgiram da necessidade de contar, os números racionais surgiram da necessidade de medir.

No Egito, por volta de 3000 a.C. com a cheia do rio Nilo, havia a necessidade de se reconstruir a cada ano, as cercas de pedra que os agricultores usavam para demarcar os limites de seus terrenos. Para isto eles tinham uma unidade de medida marcada por nós numa corda. Porém, dificilmente a unidade de medida usada cabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno. Assim, eles criaram as frações (números racionais).

Vamos deixar claro, que a ordem cronológica do surgimento dos números não esta apresentada aqui, ou seja, naturais, inteiros e racionais. Os números negativos levaram muito tempo para serem aceitos pela comunidade científica. Alguns matemáticos consideravam os números negativos "numeri absurdi" ou "numeri ficti" como absurdos. A situação só mudou a partir do (Séc.XVIII) quando foi descoberta uma interpretação geométrica dos números positivos e negativos como sendo segmentos de direções opostas.
Define-se então o conjunto dos números racionais denotado por Q, da seguinte forma:
Q = { b/a , onde a ∈ Z e b ∈ Z*}, onde Z* é o conjunto dos inteiros diferentes de zero.
Como podemos representar qualquer inteiro z por z/1 , temos que Z Q .

Observações:
1) A letra Z utilizada para representar o conjunto dos números inteiros, provém da palavra alemã "Zahl" que significa número ou algarismo.
2) A palavra racional vem do Latim ratio = razão também entendida em Matemática como divisão. Assim, um número racional é a divisão entre dois números inteiros, ou seja, a/ b=a:b
1.4.1 Adição
Como somar duas frações?
Por exemplo, como se calcula 2/5+1/3.
Podemos representar a fração 2/5 da seguinte forma:
Conjunto dos números racionais frações 1/3
Para acrescentar a isso 1/3 , como proceder se nosso todo é constituído de 5?
Precisamos dos múltiplos, assim vamos representar o 2/ 5 utilizando seu múltiplo 6/15 , sem esquecer que ele foi obtido repetindo 2/5 três vezes, ou seja 2/5=6/15

Conjunto dos números racionais frações 6/15
Agora, se temos um todo constituído de 15, podemos representar 1/3 seguindo o seguinte raciocínio, dividindo 15 por 3 temos 5, assim, podemos tomar 5 de 15 para representar 1/3
Considerando um todo de 15, observe.
1/3=5/15
Conjunto dos números racionais frações
Assim, como adicionar significa juntar ou unir, temos 6 + 5 de 15.
11/15, portanto, 2/5+1/3 = 6/15+5/15 = 11/15

Conjunto dos números racionais frações
Para podermos adicionar duas frações devemos sempre encontrar frações equivalentes de modo a trabalhar sobre o mesmo TODO. Como uma fração representa uma divisão, esse todo deve ser escolhido de modo que seja divisível pelos dois denominadores.
A forma mais rápida de encontrar o TODO que seja adequado para as duas frações é tomando o produto entre os dois denominadores, como foi feito no exemplo recém mostrado (3 x 5), o qual com certeza é divisível pelos dois denominadores.

Outra forma, que nos é ensinada lá no Nível Fundamental de Ensino, é que o todo seria dado pelo mínimo múltiplo comum entre os dois denominadores, o que obviamente seria o menor número que é divisível por eles.
Assim,
Conjunto dos números racionais frações - mínimo múltiplo comum - mmc
Onde m = mmc(a, b)

1.4.2 Multiplicação
Como multiplicar duas frações?
Por exemplo, como calcular 2/5 . 1/3
Multiplicar 2/5 por 1/3 é equivalente a tomar a terça parte de 5 Mas, como fazer isto?
2/5
Conjunto dos números racionais frações
Se tivermos duas partes de cinco, como tomar um terço de dois. Para solucionar esse problema devemos proceder da mesma forma que o fizemos para a soma, ou seja, vamos ter que encontrar uma fração equivalente a 2/5 de modo que seja possível tomar um terço.
Então, repetindo três vezes 2/5, temos:
2/5= 6/15
Conjunto dos números racionais frações
Agora, fica fácil tomarmos um terço de 6. Ou seja: 2/15

Conjunto dos números racionais frações 2/5
2/5.1/3=2/15
Observe que o produto entre duas frações é uma nova fração onde o numerador é o produto dos dois numeradores e o denominador e o produto dos dois denominadores, como nos foi ensinado do Nível Fundamental de Ensino. Ou seja,
ab.c/d = a.c/bd
E para complementar a matéria sobre números Racionais, vou deixar o endereço de um site que na minha opinião é o melhor lugar para você aprender sobre frações.
e no mesmo site você ode encontrar material disponível falando sobre números Racionais.

Ta certo! Eu sei que a matemática é uma disciplina cansativa, que exige bastante exercícios, bastante treinamento. Mas isso pode ser resolvido, se for apresentando para a turma uma curiosidade sobre métodos de cálculo.

Com certeza é um ótimo gancho para começar uma aula sobre números Racionais e frações, e todo mundo vai gostar de saber que existem, ou existiram outras maneiras de calcular, e ainda aproveitamos para dar um impulso na matéria.
Você ficou curioso não é? Então vamos lá.

Um destes métodos é a gelosia, que você pode conhecer aqui mesmo no blog matemática na veia, é só ir até Gelosia.html e se gostar aproveite e baixe esta apostila sobre o assunto, que ensina mais detalhadamente a fazer os cálculos através do método da gelosia.
O método da Gelosia pode ser inserido no final do capítulo "Os números racionais", do 7º ano e para o 8º ano, como curiosidade e motivação para a disciplina de matemática.

Veja também:

Para resolver alguns exercícios, acesse o site matemática na net, e divirta-se.
Não se esqueça de comentar, e deixar suas observações e criticas aqui no blog.

Por enquanto ficaremos por aqui. No próximo artigo vamos descobrir algumas aplicações que envolvem as propriedades do triângulo Aritmético. 
Se você é aluno, professor, ou simplesmente um apaixonado pela matemática, e gostaria de cooperar com dicas, indicar algum blog legal de matemática, ou que seja relacionado à educação, programas legais que conhece, artigos, trabalhos de escola. Mande um e-mail para caco36@ibest.com.br,ou comente aqui mesmo. Agradeço sua cooperação, comentários, dicas, críticas e  sugestões.

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58 Comentários

Francisco disse...

como mostro que 1/2 não é um número inteiro?

caco36 disse...

Tudo bem Francisco? Você gostaria de saber como provar que 1/2 não é um número inteiro? Bom! Existem diversas maneiras de provar que dado número não pertence ao conjunto dos inteiros ,mas vou usar uma demonstração que abrange todos os números entre 0 e 1.

Por que entre 0 e 1? Também poderíamos provar que ½ é Racional, mas fica para um artigo.
Então vamos pensar como que já estejamos certo de que ½ é um nº Racional.

Existe uma proposição dos números inteiros que pode ser usada para demonstrar que não existem inteiros entre 0 e 1. Então vamos lá!

Seja um inteiro “a” tal que 0 ≤ a ≤ 1. Então, a=0 ou a=1.

Demonstração:
Supondo por absurdo que existe um número inteiro “a” ≠ 0 e 1 nessas condições.
Assim, o conjunto S= {a ∈ Z / 0 < a < 1} seria não vazio e pelo principio da boa ordem m = min S. Como m ∈ S temos que m>0 e m<1. Multiplicando por m a 2º desigualdade, obtemos m2
< m . assim m2 >0 e, como m <1, aplicando a pr. transistiva temos m2 <1 . logo, m2 ∈ S e é menor que seu elemento mínimo, o que é uma contradição.

Espero que entenda o processo, qualquer coisa deixe seu e-mail e lhe explicarei com mais detalhes. Abraços.

Francisco disse...

Olá Caco!

Legal... o problema é como explicar uma proposição para um aluno do Ensino Básico. Sou formado em matemática e não tive dificulade nenhuma em entender sua provas (a qual pode ser encontrada em vários livros de álgebra, como por exemplo no livro do Adilson Gonsalves.

Valeu..

caco disse...

Beleza Francisco! Pensei que era apenas uma curiosidade, mas como se trata de mostrar de forma didática para alunos do ensino fundamental, podemos mostrar que ½ não pertence aos inteiros positivos usando a seguinte equação.

1+n= { (n)2 + n} /2

Exemplo:

1+2+3 =6

6 = { (3)2 + 3} /2
6= (9+3)/2
6=6

Esta fórmula dá certo p\ todo número inteiro positivo, mas se você fizer com números racionais, a solução não vai ser correta.

Verificando com ½.

1+1/2= 3/2

3/2={ (1/2)2 + 1/2} /2

3/2={ 1/4 + 1/2} /2

3/2=(3/4) /2

3/2=3/8 o que mostra que ½ não pertence aos inteiros positivos.

Da mesma forma você pode usar exemplos com somas de frações.

No caso, se eu somo números inteiros o resultado será números inteiros, mas se somar frações da forma N/D com D>= 2, N < D, teremos o resultado se aproximando do valor da fração que queremos provar que não é um número inteiro.

Observação: Usando o intervalo (0,1), pois a fração ½ pertence a este intervalo.

le disse...

A soma de dois números racionais é sempre racional.

verdadeiro ou falso?

De um exemplo para justificar a sua resposta.

Anônimo disse...

nossa pq q vcs colocam no google que site de exercicio e nao tem nda de exercicio caralho..... isso é foda

caco disse...

Sr Anônimo! A idéia do blog é ajudar a entender a matemática. Exercícios é claro que têm. Só que você vai ter que dar uma pesquisada no blog. Tudo de mão beijada não dá né?

carla.regiane09@hotmail.com disse...

estou cursando a quarta série e vou fazer uma prova para entrar na quinta série,um dos assuntos é:conjuntos dos números racionais,pode mim ajudar?

caco disse...

É claro que posso Carla!Já mandei um e-mail para o seu endereço, mas se você quiser entrar em contato pelo blog, comente aqui e resolvemos suas dúvidas.
Se precisar de apostilas, ou alguma resolução de um exercício mais específico, é ó pedir aqui ou por e-mail.
Abraços.

Anônimo disse...

GALERA, O NILO NÃO FICA NA GRÉCIA E SIM NO EGITO, ELE NEM MESMO PASSA PELO GRÉCIA, CUIDADO PRA NÃO ENSINAREM ERRADO OU FICAREM COM A FICHA SUJA...HEHEHE

caco disse...

Valeu Sr(a) Anônimo(a)! O erro já foi corrigido. Não acredito que fique com a "ficha suja" por um erro destes. Caixa alta em comentários também é um erro, e você não se deu por conta, mas a vida é assim mesmo, cometemos erros todo o tempo. Se encontrar outros erros, fique a vontade para corrigir-nos. Só por favor, coloca o teu nome e não coloca "CAIXA ALTA" em todo o texto.
Um abraço.

Anônimo disse...

Meu nome é Alessandro.
Eu sei, percebo que é simples; é tão elementar que até me queimo de perguntar.
É que estou tentando estudar por conta própria... e, às vezes, a coisa enrosca: problema de raciocínio.
Enfim, gostaria que pudesse me explicar dois probleminhas da antiga 6ª série -- Problemas a serem resolvidos a partir de uma equação do 1º Grau:

I - Reparta 57 em três parcelas de modo que a primeira seja igual a 1/3 da segunda e esta seja igual a 1/5 da terceira.

II - Reparta 329500,00 entre Vicente, Rubens, Laerte e Válter de modo que Vicente receba 7500,00 mais que Rubens, este receba 11000,00 mais que Laerte e este receba metade do que Válter receber.

Obs.: Já tentei resolver de inúmeras maneiras, mas... nenhuma delas bateu com o resultado do livro. O 'problema' dos problemas é conseguir interpretá-lo de modo a montar, numa sentença ou expressão, seus dados. Tendo feito isso, resolver já é bem mais fácil.

Obrigado,
Alessandro
e-mail: bricabrec@hotmail.com

caco disse...

Tudo bem Alessandro? Vamos tentar desvendar o mistério destes problemas.
I )

Vamos chamar as partes de P1, P2, P3 respectivamente.

Dividir 57 em 3 partes (P) de modo que P1 (a parte1) seja 1/3 de P2 (da parte 2) e esta 1/5 de P3 (da parte3).

Pelo enunciado temos que:
(i )- Temos que P1+P2+P3=57

P1=P2/3 e P2=P3/5
Vamos fazer as substituições necessárias em (i):

P2/3 + P3/5 + P3 = 57

Substituindo P2 por P3/5

P3/15 + P3/5 + P3= 57 (Tiramos MMC =15)

(P3 + 3P3 +15 P3)/15= 57/15

P3 + 3P3 +15 P3= 855
19P3=855
P3=855/19
P3=45
E assim respectivamente:
Se P3=45, então P2 = 45/5, logo P2 = 9
Se P2=9 , então P1 = 9/3 , logo P1 = 3, consequentemente
3 + 9 + 45 = 57

No próximo comentário temos o 2º problema.

caco disse...

II)Resolução do 2º problema.

Vamos Para ficar mais fácil de interpretar este problema, vamos trabalhar com as iniciais de cada nome. V,R,L,W (Aqui é W para Valter, ou seria melhor U?)
Temos o valor total que é de 3.295 , logo
i-3295=V+R+L+W

Do enunciado temos que:
Vicente receba 75 a mais que Rubens, ou seja:
V= 75 + R

Rubens receba 110 a mais que Laerte, ou seja:

R = 110 + L

Como L= W / 2 e que R = 110 + L = 110 + W / 2 colocando estes valores em (i ):

3295 = W + W/2 + 110 + W/2 + 75 + 110 + W/2
3295 = 5W/2 + 295
6000 = 5W
W = 1200, e assim respectivamente temos os seguintes valores
L=600
R=710
V=785

Aferindo:

600+710+785+1200=3295

Capisci?

Não esqueça de ajudar a divulgar o blog.
Um abraço, e volte sempre que quiser.

Alessandro souza disse...

Aqui é o Alessandro.
Muito obrigado por ajudar a esclarecer o modo de interpretar aqueles dois problemas.
Seu raciocínio e sua capacidade lógica são excelentes.

Agora, o que valeu mesmo, foi ter respondido tão prontamente.

Eu tava estudando sozinho em alguns livros antigos (esse mesmo de que tirei esses problemas são da 6ª série de 1991).
Aliás, o livro é muito bom, mas minha capacidade em raciocinar é lenta demais -- me embrulho todo.
E como eu não conseguia responder à questão, me veio de tentar procurar sobre esse tópico da matemática na Internet.
Nunca havia pesquisado nada a respeito. Foi então que, entre um site e outro sobre números racionais e equações do 1º grau, encontrei o seu. Fui verificando alguns comentários... Ao final, me deparei com a caixa (que eu não sabia se era para conversa entre seus amigos ou para dúvidas de matemática). Tentei a segunda opção e deu certo.

Só tenho mesmo que agradecer por ter me ajudado. Você respondeu de maneira lógica, rápida e muito eficiente.
Que as pessoas todas que navegam pela Internet, possam reconhecer que, entre tanta bobagem e perda significativa de tempo, existe o lado útil e humano tentando se fazer ouvir por esse meio de comunicação.

Mais uma vez, muito obrigado pela sua solicitude,

Alessandro


Obs.: Outra coisa, tentei postar esse comentário no blog mas não estava disponível. Se puder me fornecer um novo caminho de acessá-lo. Se for possível, pode você mesmo postar esse comentário.

Alessandro souza disse...

Boa noite,
aqui é o Alessandro de novo.

Você conseguiu expor no blog meu comentário sobre a resolução daqueles problemas? Se não, me passa o site, link... enfim, o caminho até a caixa de comentários que eu o envio.

Bom, consegui entender o seu raciocínio naqueles dois problemas que você me enviou (demorou um pouco já que meu raciocínio é lento).

E hoje, fiquei a tarde inteira tentando resolver o último problema; tentei todas as possibilidades de interpretação e montagem que me vinham em mente, com base no enunciado, mas nenhuma delas deu certo.

Se você não se importar (juro que é a última vez), eis o problema (pode me chamar de burro):

"Em uma oficina mecânica, cuja folha de pagamento é de Cr$ 240 000,00, existem e mecânicos, 2 ajudantes, 2 eletricistas e 2 vigilantes. As pessoas que trabalham em funções iguais (por exemplo, os 3 mecânicos) ganham salários iguais. Um mecânico ganha mensalmente Cr$ 18 000,00 mais que um eletricista. Um ajudante recebe tanto quanto um vigia, e este recebe Cr$ 3 000,00 menos que um eletricista. Qual é o salário mensal de um mecânico?"

Tentei seguir seu raciocínio naqueles dois problemas anteriores; tentei interpor 'x' (às vezes referindo-se ao eletricista, às vezes ao vigia ou ajudante), mas nada funcionou.

Atenciosamente,
Alessandro

ana caroline disse...

ÓLA presizo saber o que sãaao numeros racionais naturais irrasionais inteiroos pode mee ajudar porque a professora explico e eu não entendi ?~~-*
brigaado

caco disse...

Oi Ana, tudo bem? é bastante difícil explicar em poucas palavras todas as suas dúvidas, mas você pode começar a entender pelos naturais.
NATURAIS= Todos os valores inteiros(não fracionados,quebrados) maiores ou iguais a 0 (zero)

N={0,1,2,3,4,5,6,7,...}

INTEIROS= Todos os valores inteiros(não fracionados,quebrados) maiores, iguais e menores que 0 (zero)

Z={...,7,6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6,7,...}

Viu a diferença entre estes dois conjuntos?

Observação: Alguns matemáticos não consideram o zero como natural. Aqui foi colocado para ficar mais didático, e legível a apresentação dos conjuntos.

CONTINUA NO PRÓXIMO ....

caco disse...

CONTINUAÇÃO DO COMENTÁRIO ACIMA

Numeros racionais= valores que podem ser escritos na seguinte forma: m/n (m sobre n) , onde n é diferente de 0 (zero), e m, n pertencem aos inteiros.

Se ficar dúvida de uma olhada aqui:
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/fracoes/racionais.htm
Estude a parte que fala sobre frações e dízimas (é muito importante para você saber diferenciar entre racionais e irracionais)
Surgindo dúvidas pode perguntar, estamos aqui para ajudar...

IRRACIONAL= Um número real é dito um número irracional se ele não pode ser escrito na forma de uma fração ou nem mesmo pode ser escrito na forma de uma dízima periódica.

Exemplo: O número real abaixo é um número irracional, embora pareça uma dízima periódica:

x=0,10100100010000100000...

Espero ter ajudado. Olhe no endereço que lhe passei. Procure analisar separadamente cada um dos conjuntos.

Abraços e até a próxima.

Anônimo disse...

GOSTEI MUITO DAS EXPLICAÇOES VAI MIM AJUDAR PELO MENOS EU ACHO

Anônimo disse...

como resolvo um problema evolvendo numeros iteiros efracionarios: ex: nun sitio existem 12cavalos 8vacas e 40 frangos,desse conjunto de animais que fração conrrespondem aos quadrupedis?

caco disse...

Usa a calculadora de frações hehe! Brincadeira, você tem que somar os valores que correspondem aos quadrúpedes...
12+8=20 equivale a 1/3 do total de animais.
1/3 + 2/3 = 1

20/60 + 40/60 = 1

Usa a calculadora no final do blog...
Um abraço, e poe o seu nomezinho da próxima, senão é ruim de responder p\ anônimo.

Alessandra disse...

gostaria de saber se calcula uma fração com um numero negativo no meio,ex: 1/-3+1/3= ?_?
Agradeço desde já

caco disse...

Tudo bem Alessandra? Não entendi bem o que você quer dizer com "no meio", mas acredito que seja 1 sobre -3 mais 1 sobre 3.
Vejamos:

1/-3 é a mesma coisa que -(1/3) pois na divisão +1 dividido por -3 = -(1/3) Ok!
Então -(1/3) + (1/3) é zero . Dá uma treinada na calculadora do blog no seguinte endereço.
http://arquivos-do-blog.blogspot.com/p/calculadoras-on-line.html
Copia e cola no navegador. Depois procura a calculadora de fraçoes.
Estuda as regras de sinais para não se perder com frações. As regras de sinais é um fator importantísssimo no desenvolvimento de frações.
Um abraço e até mais!

Anônimo disse...

Naminha Opinião esse blog podia estar mais Organizado.

Valeu

Renan Thulio disse...

Boa tarde !
Poderia por favor resolver esse problema:

O valor de "n" que torna a sequência (2 + 3n; -5n; 1 - 4n) uma progressão aritmética pertence a qual intervalo ?

caco disse...

Resolvendo o problema : ( 2+3n, -5n, 1-4n )

Tudo bem Renan? Veja que a1+a3 = 2.a2 , logo

[2+3n] + [1-4n] = 2.[-5n]

3-n= -10n

3=-10n+n

3= -9n

3/-9=n

-1/3 =n

FalÔ!!! Um abraço. Volte sempre que precisar!

Anônimo disse...

tem mt para ler!!!

Rayane-rayssa disse...

naum deu para aprender nada

Isabell11 disse...

seila

Alice14 disse...

olha ñ deu para entender desculpe ta muito brega

G M I Borges disse...

queria os significados sabia troxas?

Jon disse...

 eu queria as resposta seus troxas

Isadoravieira disse...

Nossa que coisa mais brega , q site ruim nao deu para entender nads

hiandra disse...

cala boca  vc não sabe nem o quee matemática

carol figueiredo disse...

desculpa ai mais nao me respondeu nd!!

Naiza disse...

 kk vc que nao sabe de nada e fica ai dando trela kkkkkkkkkkkkkk

ADRIA SMITH PAIXÃO LITAIF disse...

A MIM TBBBEEEEEEEMMMM

ADRIA SMITH PAIXÃO LITAIF disse...

KKK A MIN TAMBEM  KKK S2S2S2S2S

Raphaella disse...

[aaaaaaa] Tendi nadaa :@  

Bbbb disse...

vtnc

ANDERSON disse...

MUITO ESTE SEU BLOG MEU AMIGO MUITO INSTRUTIVO ESPERO QUE CONTINUE ASSIM POIS ME AJUDOU MUITO, MUITO OBRIGADO

esthefani disse...

queria saber qua e a resposta : dois quartos vezes quatro nonos vezes menos treis nonos

caco disse...

(2/4)x(4/9)x(-3/9)

= (18+16-16)/36
=1/2

stefane disse...

intendi nada nessa porra

Morvan disse...

0,0741

ediras disse...

fazendo coco

ediras disse...

mentira e somente fazer a divisao

ediras disse...

vc e lerdo meu

ediras disse...

i,m your gay
vc tambem e

ediras disse...

sempre racional

lisiane disse...

na verdade nao eh isso q estaou presisando eu presiso de uma explicaçao de como fazer espressar um calculo na forma de fracoes!!!

GABRIELA DA SILVA disse...

É MUITO RUIN EU TIREI NOTE 0

GABRIELA DA SILVA disse...

CAVALO

lucas disse...

e tu sabe kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk cachorra!nojenta.

Claudia Abreu ! disse...

eu também não fofa '-' !

thais disse...

xato de mais

marcos disse...

Seu caco eu queria saber a q conjunto pertence as dizimas negativas e as fracoes negativas pff responde pra mim

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