Exercícios de permutações simples.


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1) Quantas palavras com significado ou não de 3 letras podemos formar com as letras A,L,I? 
Vamos denotar o conjunto das letras A,L,I sendo X= {A,L,I}
Como estamos trabalhando com permutações, então P=n , logo temos

3 possibilidades para a 1º posição
3-1 possibilidades para a 2º posição
3-2 possibilidades para a 3º posição
Note que sempre que tratarmos sobre permutações, e não existir nenhuma condição para permutar os elementos do conjunto, P(n) = n!
Ou seja se temos 3 elementos, então P3 =3! = 6 palavras diferentes.
2) Quantos números de 4 algarismos distintos podemos escrever com os algarismos 2,4, 6 e 8?

Vamos denotar o conjunto dos números dados sendo X= {2,4,6,8}

4 possibilidades para a 1º posição
4-1 possibilidades para a 2º posição
4-2 possibilidades para a 3º posição
4-3 possibilidades para a 4º posição

Note que sempre que tratarmos sobre permutações, e não existir nenhuma condição para permutar os elementos do conjunto, P(n) = n!

Ou seja se temos 4 elementos, então P4 =4! = 24 números.
Observe na tabela abaixo, que fixados o 1º e 2º números os outros dois são permutados entre si.

2
4
6
8
2
4
8
6
2
6
4
8
2
6
8
4
2
8
4
6
2
8
6
4
4
2
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4
2
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2
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6
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2
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6
2
6
2
4
8
6
2
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4
6
4
2
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6
4
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2
6
8
2
4
6
8
4
2
8
2
4
6
8
2
6
4
8
4
2
6
8
4
6
2
8
6
2
4
8
6
4
2


3) De quantas maneiras uma família de 5 pessoas pode sentar-se num banco de 5 lugares para tirar uma foto?
Vamos denotar o conjunto destas cinco pessoas sendo X={ P,M,F1,F2,F3}
Note que sempre que tratarmos sobre permutações, e não existir nenhuma condição para permutar os elementos do conjunto, P(n) = n!
Ou seja se temos 5 elementos, então P5 =5! = 120 maneiras diferentes.

4) De quantas maneiras uma família de 5 pessoas pode sentar-se num banco de 5 lugares, ficando duas delas sempre juntas, em qualquer ordem?

O procedimento neste exercício é um pouco diferente do anterior.
Como temos a condição de que duas delas sempre estarão juntas em qualquer ordem,então vamos supor que as duas sejam uma só pessoa.

Vamos começar colocando o Pai(P) e a mãe(M) juntos. Logo ao fazer nossa permutação teremos.


PM
F1
F2
F3
PM
F1
F3
F2
PM
F2
F1
F3
PM
F2
F3
F1
PM
F3
F1
F2
PM
F3
F2
F1


Note que neste caso temos apenas 4 elementos, pois dois são tomados com se fossem apenas um.
Fixamos o Pai (P) e a Mãe (M) e permutamos os filhos F1,F2,F3 entre si.
Do mesmo modo Fixamos mais dois e fazemos o mesmo procedimento.
Logo temos sempre 4 elementos.

4 possibilidades para a 1º posição
4-1 possibilidades para a 2º posição
4-2 possibilidades para a 3º posição
4-3 possibilidades para a 4º posição

Então P4 = 4! , mas com ainda temos que permutar os dois elementos que ficaram juntos “em qualquer ordem”. Então temos que a permutação entre 2 elementos é 2!.
Logo temos 4!.2! = 48 maneiras.
5) Quantos são os anagramas que podemos formar com a palavra AMOR?

Esta vamos fazer direto.
São 4 letras. Logo temos P4 = 4! = 24 anagramas.
6) Quantos são os anagramas que podemos formar com a palavra DISQUE?
Esta vamos fazer direto.
São 6 letras. Logo temos P6 = 6! = 720 anagramas.
7) Quantos são os anagramas que podemos formar com a palavra PORTA?
Esta vamos fazer direto.
São 5 letras. Logo temos P5 = 5! = 120 anagramas.

8) Quantos são os anagramas que podemos formar com a palavra PERDÃO?
Esta vamos fazer direto.
São 6 letras. Logo temos P6 = 6! = 720 anagramas.

9) Uma bibliotecária recebeu uma doação de 3 livros diferentes de Matemática, 4 livros diferentes de Química e 3 livros diferentes de Física. De quantas formas ela poderá arrumá-los em uma prateleira de livros novos?

Neste problema, usamos todos os objetos (os 10 livros) e a ordem de
arrumação faz diferença. Logo, trata-se de uma permutação de 10 objetos.
10! = 3 628 800
Há 3 628 800 maneiras de arrumar os livros na prateleira.

10) No exemplo anterior, a bibliotecária levou a maior bronca, pois deveria ter
deixado junto os livros de mesma matéria! E agora, de quantas formas poderá
arrumá-los?

Os três livros de Matemática podem ser arrumados de 3! = 6 maneiras.
Os quatros de Física de 4! = 24 maneiras e os de Química de 3! = 6 maneiras.
Além disso, podemos variar a ordem de arrumação das matérias:
Química, Física, Matemática ou
Física, Química, Matemática ou
Matemática, Física, Química etc.

Como podemos variar a ordem das matérias de 3! = 6 formas diferentes,
poderemos arrumar os livros de:








11) No protocolo de uma repartição há um arquivo de mesa como o da figura
abaixo. Cada funcionário do setor gosta de arrumar estas caixas em uma ordem
diferente (por exemplo: entrada-pendências-saída, pendências-saída-entrada
etc.). De quantas maneiras é possível ordenar estas caixas?

Como temos 3 caixas - saída (S), pendências (P) e entrada (E) - vamos
escolher uma delas para ficar embaixo. Escolhida a caixa inferior, sobram 2
escolhas para a caixa que ficará no meio e a que sobrar ficará sobre as outras.
Então, usando o princípio multiplicativo temos 3! = 3 · 2 · 1 = 6 opções
Assim, as soluções são:

12) De quantas maneiras podemos arrumar 5 pessoas em fila indiana?

Solução:
Para facilitar, vamos imaginar que as pessoas são P1, P2, P3, P4, P5, P6 e que precisamos arrumá-las nesta fila:











Ao escolher uma pessoa para ocupar a primeira posição na fila temos cinco pessoas à disposição, ou seja, 5 opções; para o 2º lugar , como uma pessoa já foi escolhida, temos 4 opções; para o 3º lugar sobram três pessoas a serem escolhidas; para o 4º lugar duas pessoas, e para o último lugar na fila sobra apenas a pessoa ainda não escolhida.
Pelo princípio multiplicativo temos:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 opções

13) Quantos números diferentes de 4 algarismos podemos formar usando apenas
os algarismos 1, 3, 5 e 7?
Solução:
Como são 4 algarismos diferentes, que serão permutados em 4 posições, a solução é:
4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 números diferentes

14) Quantos são os anagramas da palavra MARTELO?

Solução:
Cada anagrama da palavra MARTELO é uma ordenação das letras M, A, R,
T, E, L, O. Assim, o número de anagramas é o número de permutações possíveis
com essas letras, ou seja:
7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040

15) Quantos anagramas que comecem e terminem por consoantes podemos formar a partir da palavra MARTELO?

Solução:
A consoante inicial pode ser escolhida de 4 maneiras e a consoante final de 3 maneiras. As 5 letras restantes serão permutadas entre as duas consoantes já escolhidas. Portanto, a resposta é 4 · 3 · 5! = 1440 anagramas

16) Um grupo de 5 pessoas decide viajar de carro, mas apenas 2 sabem dirigir. De
quantas maneiras é possível dispor as 5 pessoas durante a viagem?

Solução:
O banco do motorista pode ser ocupado por uma das 2 pessoas que sabem guiar o carro e as outras 4 podem ser permutadas pelos 4 lugares restantes, logo:
2 · 4! = 2 · 24 = 48 maneiras
Como neste exemplo vimos que em alguns problemas (que envolvem permutações dos elementos de um conjunto) podem existir restrições que devem ser levadas em conta na resolução.
Portanto, fique sempre muito atento ao enunciado da questão, procurando compreendê-lo completamente antes de buscar a solução.

Ir para Análise combinatória


Referências:
DANTE, Luiz Roberto. Matemática Dante Volume único, São Paulo, 1º edição, Ática, 2009.
Biblioteca Virtual do Estudante Brasileiro - TC2000 - Matemática - vol 3, 2º grau aula 52.


Por enquanto ficamos por aqui. Em breve mais atualizações, aguarde!

Se você quer cooperar com dicas, indicar algum blog legal de matemática, programas legais que conhece, artigos, trabalhos de escola. Fique a vontade. Mande um e-mail para caco36@ibest.com.br ,ou comente aqui mesmo. Por enquanto ficamos por aqui! Agradeço antecipadamente, comentários, dicas, criticas e sugestões.

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24 Comentários

Thiago Reis disse...

A 6ª questão está errada, o certo é 120 anagramas! Thiagoreis_250@hotmail.com

caco disse...

Beleza Thiago! Realmente existe um erro nesta questão, mas é na palavra. DIQUE seria na verdade DISQUE.
Mas mesmo assim esta errada. Vou arrumar o mais breve possível. Um abraço e obrigado pela participação Thiago.

Gilvani disse...

Um ajuda por favor!

De um total de 11 romances e 3 dicionários, devem-se tirar 4 romances e 1 dicionário, que serão arrumados numa prateleira de uma biblioteca de tal forma que o dicionário fique sempre no meio. De quantas maneiras isso pode ser feito?

Obrigado!

Gilvani

caco disse...

Tudo Gilvani? É o seguinte. É indiferente se o dicionários está no meio ,na ponta ou sei lá aonde. O cálculo é o mesmo.

Temos Romances={r1,r2,r3...r11} ,logo fazendo A(11,4) , pois tenho 11 elementos no conjunto que quero tomar P a P, ou seja 4 a 4.
A=11!/(11-4)! que dá 3.10.9.8 Agora multiplicamops pelo total de elementos do outro conjunto ( de dicionários) que são 3
Logo 3(11.10.9.8) = 23760

Faça exemplos com valores menores até você assimilar bem o desenvolvimento deste tipo de exercício.
Um abraço e volte sempre que necessário!

Gilvani disse...

Oi Caco,

Agora tá tudo bem, rsrsrs. Obrigado por mais esta grande ajuda, estou estudando análise combinatória para concursos públicos, porém, com algumas dificuldades neste assunto.

Tudo de bom, o seu blog está fantástico! Obrigado e abraços

Anônimo disse...

achar a função seno do tipo y= a*sen*(bx)+ d.Em que o brilho de uma estrela tem um período de 330 dias, e seu brilho varia de 2 a 10 unidades de brilho. Como encontrar essa função.

Obrigada pela ajuda.

Sapinha

Anderson disse...

Olá Caco,
Tenho uma dúvida com relação a uma questão que foi utilizada na prova da Universidade do Estado da Bahia - UNEB referente ao ano de 2010, la vai a pergunta:

Um painel decorativo é pintado como um tabuleiro com 9 casas, sendo 4 brancas e 5 pretas, de acordo com a figura. Afixando-se, nesse painel, três fotos, de forma aleatória, cada uma delas dentro de uma casa
distinta, a probabilidade de essas fotos ocuparem três casas de mesma cor é, aproximadamente, igual a
01) 37%
02) 33%
03) 29%
04) 19%
05) 17%

Segundo o gabarito a opção correta é a de número 05. Não entendir como pode ser esta opção.

Atenciosamente,

Anderson

caco disse...

Um painel decorativo é pintado como um tabuleiro com 9 casas, sendo 4 brancas e 5 pretas, de acordo com a figura. Afixando-se, nesse painel, três fotos, de forma aleatória, cada uma delas dentro de uma casa distinta, a probabilidade de essas fotos ocuparem três casas de mesma cor é, aproximadamente, igual a 01) 37% 02) 33% 03) 29% 04) 19% 05) 17% Segundo o gabarito a opção correta é a de número 05. Não entendir como pode ser esta opção.

Seja P(A) = n(A)/ E

Como temos 9 casas, temos nove possibilidades (espaço amostral - E),mas existem dentre estas 9 possibilidades 5 pretas e 4 brancas como descrito. Como são 3 fotos (eventos – A,B,C) Para a 1º foto existem duas possibilidades ou seja 5 casas brancas para uma e 4 casas pretas para a outra,assim P(A)=4/9 +5/9 . Sucessivamente fazemos o mesmo para as outras fotos,assim P (B)= 3/8+ 4/8 e P(C)= 2/7 + 3/7

Montamos tudo dá

P= (5/9)(4/8)(3/7) + (4/9)(3/8)(2/7)
P=[(5.4.3 )/ (9.8.7)]+[(4.3.2)/(9.8.7)]
P=(1/9.8.7 )[ (5.4.3+4.3.2)]
P=(1/504 )(60+24)
P=(24+60)/504
P=84/504 = 1/6
P = 0,166

Arredondando temos 17%

É isso aí, qualquer dúvida dá um grito!!!

Anderson disse...

Valeu Caco sua explicação sobre a questão do tabuleiro foi show de bola. Este blog é show.

Unknown disse...

Ola pessoal , tdo bem , bom eu gostaria de fazer uma combinaçao de numeros por exemplo com 4 celulas milhar , centena , dezena e unidade ,
como faço essa combinaçao com essas 4 celulas com 6 numeros cada ?

Grato pela atençao ..

caco disse...

Pelo que entendi, você precisa combinar os valores dentro de 4 células, dentro das quais possuem 6 valores. Se for isto é só multiplicar 6.6.6.6
que você terá a resposta. Este método usa a "Regra do Produto". "... se um elemento A pode ser escolhido de m formas diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, um outro elemento B pode ser escolhido de n formas diferentes, a escolha do par (A,B) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas.

Exemplos:
-Supondo que você tenha apenas uma celula e 2 valores.

[0,1] , assim temos apenas uma combinação.

-Supondo que você tenha 2 celulas e 2 valores.

[0,1] . [0,1] , assim temos [(0, 0);(0 , 1);(1,0);(1,1)] , o que dá 4 combinações.

Veja que 2.2=4 e que 2²=4

-Supondo que você tenha 3 celulas e 2 valores.

[0,1] . [0,1]. [0,1] , assim temos 2.2.2=8
Veja que 2.2.2=8 e que 2.2²=8 e 2^3=8 .

E assim segue... 6^4=1296 possibilidades

caco disse...

Eu é que agradeço sua participação no blog Anderson. Volte quando quiser, um abraços!

Jefferson Souza Fernandes disse...

To construindo um blog sobre matematica, ve se tá ficando bom: http://www.matematicaadoro.blogspot.com/

Anônimo disse...

Eu ameeeeei esse site. Foi muitooo importante pra mim! Eu não sabia nadaaa de arranjo,permutação e combinação, mas agora eu seeii como é fácil e simples! Sempre vou entrar nesse site e vou recomendar para todos meus amigoooss! Vlw

Ana disse...

Será que podem me ajudar a resolver este problema?
Numa prateleira de uma estante foram arrumados lado a lado e ao acaso 15 livros dos quais cinco são de Matemática. Qual é a probabilidade de que pelo menos dois livros de Matemática tenham ficado juntos?

agatha disse...

Uma bibliotecária recebeu uma doação de 3 livros diferentes de Matemática, 4 livros diferentes de Química e 3 livros diferentes de Física. De quantas formas ela poderá arrumá-los em uma prateleira de livros novos?
não entendi este ainda

Ana Cecília disse...

Olá, tenho uma questão complicada que até agora não achei na net.

Seis pessoas, entre ela João e Paulo, vão ao cinema. Existem seis lugares vagos, alinhados e consecutivos. O número de maneiras distintas como as seis podem sentar-se sem que João e Pedro fiquem juntos é ?

a)720 b) 600 c)480 d) 240 e)120

Araien Rebouças disse...

Para estudar probabilidade é necessário saber permutação, portanto para se resolver essa questão é necessario realizar um calculo de permutação e depois realizar o calculo de probebilidade que provavelmente o resultado sera uma fração.

Ariane Rebouças disse...

São 6 pessoas menos o 1 João e 1 Paulo

então o calculo será 6 (Total) x 5 (João) x 4 (Paulo) =120 Maneiras

Ariane Rebouças disse...

4 Células (Milhar, Centena, Dezena, Unidade)

6 Algarismos (1,2,3,4)

Sem importar a ordem dos algarismos...

Então será uma questão de COMBINAÇÃO

C n,p = N! / p! x (n-p)!

C 6,4 = 6! / 4! x (6-4)!

C 6,4 = 6x5x4x3x2 / 4x3x2 x (6x5x4x3x2 - 4x3x2)

C 6,4 = 720 / 24 x (720 - 24)



C 6,4 = 720 / 24 x 696


C 6,4 = 16 704 possibilidades

Richard disse...

Quem é Pedro ? kk Não era Joao e Paulo?

ADEMAR DIAS DE SOUZA disse...

Quantas frações diferentes ( e não iguais a 1) podemos escrever usando os números 2 , 3 , 5 , 7 , 11 e 13?

ADEMAR DIAS DE SOUZA disse...

Me ajude a resolve um problema de permutação pois a minha resposta não está batendo: Deseja-se pintar uma bandeira, com sete faixas verticais, dispondo de 3 cores, com que se tenha duas faixas consecutivas de mesma cor. De quantas maneiras isto é possível?

Rafaella Cavalcante disse...

Não consegui resolver esta questão. Me ajuda?

1) Quatro jogadores saíram do PArá para um campeonato em Porto Alegre, num carro de 4 lugares. Dividiram o trajeto em 4 partes e aceitaram que cada um dirija uma vez. Combinaram também que, toda vez que houvesse mudança de motorista, todos deveriam trocar de lugar. O número de arrumações possíveis dos 4 jogadores durante toda viagem é?



Rafaella

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