Permutação simples

[♀]Matemática na Veia 2007-2016 O Blog do Estudante Inteligente

Relatos de erros e correções em relação ao português serão bem vindos e podem ser esclarecidos através do RH - Sugestões e Reclamações.

INTRODUÇÃO - PERMUTAÇÕES

Permutar é sinônimo de trocar. Intuitivamente, nos problemas de contagem, devemos associar  a permutação à noção de misturar.

Consultando um dicionário encontramos:

PERMUTAR:
Dar mutuamente, trocar.
PERMUTAÇÃO:

1) Ato ou efeito de permutar, troca, substituição;
2) Transposição dos elementos de um todo para se obter uma nova combinação;
3) Sequência ordenada dos elementos de um conjunto.


Definição:

Dado um conjunto com n elementos, chama-se permutação de n elementos distintos a todo grupo formado pelos n elementos, sendo um grupo distinto de outro quando em cada um dos dois houver, pelo menos:

Dois dos n elementos em ordem diferentes ( Note que a ordem numa permutação é importante )

Considerando o conjunto E= { a_1,a_2,a_3,...,a_n} de n elementos distintos. Chamamos de permutação dos n elementos de E qualquer sequência formada pelos n elementos de E.

Por exemplo, se E= {a,b,c}, as sequências (a,b,c),(a,c,b),(b,a,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a), são permutações dos 3 elementos de E.

Agora observe os anagramas que podemos formar com as letras da palavra POR.

POR,PRO,OPR,ORP,ROP,RPO.

Fixando P na 1º posição	Fixando O  na 1º posição	Fixando R  na 1º posição
POR PRO	ORP ORP	ROP RPO

Cada um dos 6 anagramas é uma permutação dos elementos P,O e R.

Observe que não foram usados elementos repetidos.

Caso fossem usados elementos repetidos poderíamos ter PPP,PRR,RRP,RRO, e assim por diante.

Mas como a própria definição nos diz “permutação de n elementos distintos”. Não é permitido repetir os elementos.

Questão: existem quantas permutações num conjunto de n objetos?

Como uma permutação é a coleção ordenada desses n objetos, para a primeira posição da ordem desses elementos temos:

n        possibilidades. Uma vez escolhido o 1º elemento dessa ordem, para a escolha do 2º , temos:

n – 1  possibilidades. Uma vez escolhido o 2º elemento da ordem, para a escolha do segundo, temos n – 2 possibilidades, e, assim por diante. Logo, pelo Princípio Multiplicativo, o número de permutações de n objetos é igual a:

n.(n - 1).(n -2)...1 = n! .                ou seja P(n)= n!

Note que recaimos na definição de um nº fatorial n!= n(n-1)(n-2)...1.

Adotamos P(n) para representar o número de permutações simples de n elementos, e  n = número total  de elementos.

P= número de lementos que serão tomados para fazer a permutação. Como na permutação P(n)=n!, então P=n.

P(n) = Número de permutações simples dos n elementos tomados p a p, com p=n. 

       

Vejamos quantos agrupamentos é possível formar quando temos n elementos e todos serão usados em cada agrupamento.

1)       Calcule P_4.

De quantas maneiras diferentes podemos dispor um conjunto de 4 objetos.

P₄= 4! = 4.3.2.1=24

2)       Calcule P_7.

De quantas maneiras diferentes podemos dispor um conjunto de 7 objetos.

P₇= 7! = 7.6.5.4.3.2.1=5040

3)       De quantos maneiras diferentes 3 pessoas podem se dispor em fila indiana:

Uma fila nada mais é do que uma sequência de pessoas, ou seja, mudando as posições de duas pessoas na fila ela se altera?

Vamos denotar cada pessoa por uma letra, então seja o conjunto das pessoas denotado por X={ a,b,c}

Fixando "a" na primeira posição, temos duas posições para permutar as duas letras restantes

a	b	c
a	c	b

Fixando "b" na primeira posição, temos duas posições para permutar as duas letras restantes

b	a	c
b	c	a

Fixando "c" na primeira posição, temos duas posições para permutar as duas letras restantes

c	a	b
c	b	a

Ou seja analisando pela definição, temos

3    possibilidades para a 1º posição.

3-1 possibilidades para a 2º posição.

3-2 possibilidades para a 3º posição.

Logo P₃ =3!=3.2.1= 6 maneiras diferentes de dispor 3 pessoas em uma fila indiana.    

4)        E se forem impostas certas condições para as possibilidades de permutação entre as pessoas na fila?

Supondo que queremos saber o nº de permutações com a pessoa “a” na 1º posição da fila?

 Observe o exemplo anterior, onde foi fixado “a” na 1º posição.

 Fixando "a" na primeira posição, temos duas posições para permutar as duas letras restantes

Logo temos:

 1 possibilidade para a 1º posição, pois queremos apenas “a” na 1º posição.

 3-1 possibilidades para a 2º posição, pois não podemos repetir as pessoas.

 3-2  possibilidades para a 3º posição, pois não podemos repetir as pessoas.

Logo temos  1.2!=2 Possibilidades.

5)       E se forem impostas certas condições para as possibilidades de permutação da palavra “PARTO”, quantos anagramas começam com uma consoante e terminam com uma vogal?

Resolução:

Consoantes= (P,R,T)

Vogais = (A,O)

Temos 3 possibilidades para começar com uma consoante (P,R,T) e duas possibilidades para terminar com uma vogal (A,O)

Para cada consoante e cada vogal escolhidas para a 1º e última casas, as 3 letras restantes permutan-se entre si nas casas restantes.

Fixados P na 1º e O na última posição, temos 3 letras restantes para permutar entre si nas 3 casas restantes.

P

A

R

T

O

P	A	T	R	O
P	T	A	R	O
P	T	R	A	O
P	R	T	A	O
P	R	A	T	O
P	O	R	T	A
E assim sucessivamente para todas as possibilidades.

Total: 3 . P_{3  .} 2 = 3 . 3! . 2 = 36 

Mas porque não permutamos as 3 consoantes e as 2 vogais também?

Note que, do mesmo modo que o exemplo da pessoa “a” na 1º posição da fila, se permutarmos as letras, tanto consoantes quanto vogais, teremos repetições, e isto não é permitido.

6)       E se fossem pedidos o número de anagramas em que as consoantes da palavra PARTO aparecem juntas?

a) Na ordem PRT.

 Vamos supor que as consoantes (P,R,T) são uma letra apenas.

PRT	A	O
PRT	A	O
O	PRT	A
A	PRT	O
O	A	PRT
A	O	PRT

3! = 3 . 2 . 1 = 6  

b) Em qualquer ordem.

Agora temos que permutar as consoantes PRT entre si, logo temos 3! 

P	R	T
P	T	R
R	P	T
R	T	P
T	R	P
T	P	R

3! . 3!   Porque?

Observe que para cada permutação das letras PRT na 1º posição, temos que permutar as outras letras restantes entre si. Logo temos  3!.3! = 36

7)       Vamos usar um exemplo do livro Matemática Dante pg 285. para vermos como trabalhar com árvore de possibilidades.

Ex: 1º - Quantos números de 3 algarismos sem repetição, podemos formar com os algarismos 1,2,3?

   

Ex: 2º - Quantos são os anagramas da palavra anel?

Vamos denotar o conjunto das letras da palavra anel por X={a,n,e,l}

Logo temos 4 elementos (letras) no conjunto.

Como não temos nenhuma condição para permutar as letras da palavra “anel”, e como temos 4 letras, então Há:

4 possibilidades para a 1º posição

3 possibilidades para a 2º posição

2 possibilidades para a 3º posição

1 possibilidades para a 4º posição

Então como P₄   = 4! = 4.3.2.1=24 anagramas.

Você sabe o que é um anagrama?

Anagrama é uma palavra formada pela transposição (troca) de letras de outra palavra. Existem também anagramas de frases, nos quais se trocam as palavras, formando-se outra frase.

Ir para Análise combinatória

Referências:

DANTE, Luiz Roberto. Matemática Dante Volume único, São Paulo, 1º edição, Ática, 2009.

DANTE,P.J. & HERSH, R. A experiência matemática, Rio de Janeiro, Francisco Alves, Ática, 1997.

BEZERRA, Manoel Filho. Matemática para o ensino médio, Volume único, Manoel Jairo Bezerra. São Paulo, Scipione (Série parâmetros). 2004, 5º Edição.

* Com adaptações.

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Sobre a Autor:

Antonio Blogueiro desde 2007, gaúcho, gosta muito de ler, e é totalmente viciado em internet. Comecei blogar em 2005, e criei o Matemática na Veia no inicio de 2007. Sou formado em licenciatura Plena em Matemática pela UFPEL. Servidor Público,e fanático pela Web.