A história do Triângulo Aritmético:Parte II

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Viajando da China à Europa

Se você ainda não leu  a primeira parte desta história, de uma espiada em: A história do Triângulo Aritmético parte I

 Triângulo aritmético:

     Um triângulo com múltiplas personalidades.

Cartão de visitas do Museu du Louvre 

Fonte da imagem: http://www.louvre.fr/ - 2005-2010 Musée du Louvre

 
   
No artigo anterior viajamos por alguns países do oriente, onde vimos algumas das facetas mais curiosas do Triângulo Aritmético, e também percebemos que a verdadeira história é um tanto diferente da que aprendemos na escola, e com certeza muito mais interessante.

    Podemos concluir que existe muito mais para explorarmos, além do que está escrito nos livros, principalmente quando o assunto é história da matemática.

Também sabemos que o Triângulo Aritmético já era conhecido muitos séculos antes do matemático Blaise Pascal, e que ele mesmo nunca se intitulou descobridor de tal ente matemático. Como ainda não terminamos nossa epopéia “Triangular”, veremos mais algumas culturas que também contribuiram muito para a evolução do Triângulo Aritmético. Então para começar, seguiremos até a China para descobrirmos no que os matemáticos deste país contribuíram para a história do nosso personagem de múltiplas origens.

Observação: 

Para quem não consegue ler alguns caracteres chineses, pode solucionar este problema instalando os arquivos para idiomas do leste asiático, que  vem junto com o CD de instalação do Windows XP.

Acesse caracteres chineses para aprender o procedimento correto.

O Triângulo Aritmético na China

Na China, o Manual de Matemática de Jia Xian, escrito por volta do ano 1050, também trata de alguns conceitos relacionados ao triângulo aritmético.

Mas, o mais famoso matemático chinês associado ao triângulo aritmético é Yang-Hui, o qual estudou as propriedades di triângulo por volta de (1250 d.C). Ele escreveu cerca de dez livros, sendo que em pelo menos dois desses, “Alfa e ômega de uma seleção de aplicações de métodos aritméticos” e uma análise detalhada dos métodos do livro “Nove capítulos” ele estuda e aplica conceitos do Triângulo Aritmético

Entre 1280 e 1320 d. C., viveu o último e maior matemático chinês da idade de ouro, Chu Shih-Chieh (Zhu Shijie – Em chinês tradicional: 朱世傑), que durante vinte anos lecionou por várias regiões da China. Em 1303, escreveu um importante tratado matemático intitulado “Ssu-yüan yü-chien” (四元玉鉴), ou “Precioso espelho dos Quatro Elementos”. Esta obra marcou o ápice no desenvolvimento da álgebra chinesa.

Ele usou uma extensão do método das matrizes para trabalhar com polinômios com até quatro incógnitas. Também obteve resultados promissores sobre somas de séries.

Páginas do livro:

“Precioso espelho dos Quatro Elementos”

Figura 1: “Precioso espelho dos Quatro Elementos” (1303)

Figura 2: “Precioso espelho dos Quatro Elementos” (1303)

Os quatro elementos, denominados: céu, terra, homem e matéria, representavam as quatro quantidades (incógnitas) desconhecidas em suas equações algébricas. Este livro traz figuras triangulares com até nove linhas. Chu não atribui a si o mérito da descoberta e refere-se ao triângulo como o “diagrama do velho método para achar potências oitavas ou menores”.

Neste livro, é apresentado um método de transformação denominado método fan-fan, que em 1819, o matemático inglês William George Horner anunciaria como sendo uma contribuição sua; o que de acordo com os registros chineses não corresponde à verdade. No entanto, em todo o mundo matemático, tal método é reconhecido como “método de Horner”.

A denominação chinesa mais comum para o Triângulo Aritmético é “Triângulo de Yang-Hui”. 

Figura 3: Triângulo de Yang Hui

O triângulo
foi ilustrado pelo próprio matemático Yang Hui, (chinês tradicional: 楊輝; chinês simplificado: 杨辉; 1238-1298) em sua obra “Xiangjie Jiuzhang Suanfa” (详解九章算法) embora também tenha sido usado por Jia Xian em aproximadamente 1100. Jia XianJia Xian foi um matemático chinês da dinastia Song, primeira metade do século 11. Jia Xian estudou sob mathemtician Chu Yan. Jia Xian inventou Jia Xian em torno do triângulo primeira metade do século 11, cerca de 500 anos antes de Pascal. Jia Xian usou-o como uma ferramenta para encontrar The Roots quadrados e ...

Triângulo de Jia Xian

            

Figura 4: Triângulo de Jia Xian

Os Árabes

A reconstituição do envolvimento dos matemáticos de religião islâmica com o Triângulo Aritmético é bastante difícil, pois, sabemos que a maioria dos principais documentos associados ao triângulo perdeu-se no tempo. Contudo é razoável afirmar que muitos dos matemáticos islamitas aprenderam sobre as propriedades do Triângulo Aritmético através das compilações escritas no idioma árabe, que foram transcritas em livros indianos, como é o caso do, “Princípios do Cálculo Hindu”, escrito por Al Jili c. 1000 dC, e a obra “Coisas suficientes para entender o Cálculo Hindu”, escrita por Al-Nasawi, também em c. 1000 dC.

Segundo os maiores especialistas em história da matemática islamita, Roshdi Rashed e Adel Anbouba, o Triângulo Aritmético teria sido descoberto para obter as soluções no desenvolvimento de potências quadráticas, cúbicas e quárticas de binômios nos tratados de álgebra: o “al Fakhri” e o “al Badi”. (1151 d.C). Na mesma época o islamita, Al-Samaw'al(1125-1180), um Matemático muçulmano e astrônomo de ascendência judaica.Embora Samaw'al tenha nascido de uma família judaica, Ele se converteu ao Islã em 1163 depois de ter tido um sonho, o qual lhe influenciou na decisão de converter-se ao Islã. Seu pai era um Rabino Judeu do Marrocos.

Al-Samaw'al Teve um grande envolvimento com o triângulo. Aos 19 anos escreveu um tratado de álgebra  “al-Bahir fi'l-jabr”, Que significa "O brilhante da álgebra". Ele também desenvolveu o conceito de prova por indução matemática, o qual usou para corrigir e desenvolver o trabalho de Al-Karaji sobre o Triângulo e o Teorema binomial (Teorema de Newton). No seu livro é possível observar-se uma figura do triângulo com 12 linhas, e a demonstração por indução matemática da validade do Teorema Binomial.

Outro grande matemático islamita a envolver-se com o Triângulo Aritmético foi o famoso poeta e matemático persa, Omar Khayyam (1048-1131), nascido na aldeia de Khorasan g.Nishapur, escreveu sobre o triângulo aritmético em alguns de seus trabalhos por volta de 1100. O seu nome completo era Ghiyath al-Din Abu'l-Fath Umar ibn Ibrahim Al-Nisaburi al-Khayyami.

Khayyam mudou-se em 1070 para Samarcanda, no Uzbequistão, que é uma das mais antigas cidades da Ásia Central, onde conseguiu o apoio de Abu Tahir, um proeminente jurista da cidade de Samarcanda, fato este que permitiu-lhe escrever sua obra mais famosa sobre álgebra, o “Tratado sobre a Demonstração de Problemas de Álgebra” (1070), onde ele se refere ao livro que escreveu sobre o Triângulo Aritmético e a sua aplicação na extração aproximada de raízes quadráticas, cúbicas,hoje totalmente perdido.

Um arranjo semelhante dos coeficientes também era conhecido dos árabes na mesma época, e em 1265, o árabe Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274) faz uma clara referência ao Triângulo Aritmético em uma de suas obras. Já na Europa, como vimos no início da Parte I (Um triângulo com múltiplas personalidades),mais ou menos um século antes de Blaise Pascal, muitos matemáticos trabalhavam com o Triângulo Aritmético.

Um dos mais famosos foi o matemático alemão Apianus (Petrus Apianus, 1495-1552), que em 1527 publicou um livro cuja capa trazia um desenho do triângulo aritmético. Seu nome foi latinizado para Apianus em virtude da palavra "abelha" (seu nome original continha a palavra alemã Biene, que significa abelha) “apis" em latim. 

                            

Figura 6:”Instrvmentun Primi mobilis”,a Petro Apiano.

N. sobre edición original: 

Reproducció digital de l'edició: Nunc primum et inventum et in lucem editum.
Norimbergae, apud Io. Petreium, 1534.

Edició de la Biblioteca Virtual Miguel de Cervantes per cortesia de la Universitat de Barcelona.

Mas o alemão que mais divulgou o triângulo foi Stifel (Michael Stifel, 1487? -1567), principalmente através da sua importante e influente obra “Arithmetica Integra”, de 1544.

Obra de Stifel - Arithmetica Integra

Figura 7: “Arithmetica Integra”, de 1544.

Após os alemães, os matemáticos italianos também redescobriram o Triângulo Aritmético. O principal deles foi Tartaglia (Niccólo Fontana Tartaglia, 1499-1559), que dedicou a esse assunto muitas páginas de seu extenso livro “General Trattato di numeri et misure”, de 1556.

Figura 8: “General Trattato di numeri et misure”, 1556

Tartaglia reivindicou a criação do triângulo aritmético para ele, e em alguns países da Europa, o triângulo aritmético é chamado de Triângulo de Tartaglia.

O francês Blaise Pascal ( 1623-1662: Pronuncia-se [ Paskal blɛz ] ) teve seu primeiro contato com o Triângulo Aritmético motivado pela resolução de um problema que envolvia a probabilidade se obter um duplo 6 jogando-se dois dados (Veremos mais detalhes sobre este acontecimento em artigos sobre “Probabilidades”). 

 Estátua de Blaise Pascal

Figura 10: Estátua de mármore de Blaise Pascal localizada no museu do Louvre

Pascal escreveu uma monografia de 60 páginas sobre o Triângulo Aritmético, denominada por “Traité Du triangle arithmétique”, e publicada postumamente em 1665.

Figura 11: “Traité Du triangle arithmétique” Blaise Pascal

Pascal propôs um novo modelo para o triângulo, e estudou as suas propriedades mais a fundo que seus antecessores, provando várias delas. A consagração da denominação atual, Triângulo de Pascal ocorreu pelo fato de que em 1739, De Moivre (Abrahan de Moivre, 1667-1754) publicou um trabalho que alcançou grande repercussão na época, em que usou a denominação “triangulum, arithmeticum pascalianum” para o Triângulo Aritmético.

Por enquanto ficaremos por aqui. No próximo artigo vamos descobrir algumas aplicações que envolvem as propriedades do triângulo Aritmético. 

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Observação:

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REFERÊNCIAS:

IMENES, Luiz Márcio Pereira. Os números na história da civilização. São Paulo: Scipione, 1999. (Coleção Vivendo a matemática).

IFRAH, Georges. História Universal dos Algarismos: a inteligência dos homens contada pelos números e pelo cálculo. Tomo 1. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1997.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática Dante, Volume único, São Paulo, 1º edição, Ática, 2009.

GALERA, Maria Cristina Solaeche. Sistema de tabulación de coeficientes binomiales o triângulo de Pascal: un modelo numérico rasga El telar de los tiempos. Venezuela, Divulgaciones matemáticas. n.1, p.61-68, v.6 ,1998.

DAVIS, Harold T. Tópicos de história da matemática para uso em sala de aula. São Paulo, Atual, 1992. 

http://www.louvre.fr/

http://www.vsmp.ch/bulletin/no85/pascal.html

http://www.gap-system.org/~history/Mathematicians/Khayyam.html

http://www.lib.cam.ac.uk/cgi-bin/PascalTriangle/browse

http://www.webquestbrasil.org/criador/webquest/soporte_derecha_w.php?id_actividad=14717&id_pagina=1

http://www.chiculture.net/0803/html/c58/0803c58.html

http://202.38.126.65/navigate/mathcolumn/artical38.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Numeraci%C3%B3n_con_varillas 
http://www-history.mcs.stand.ac.uk/PictDisplay/Khayyam.html

Figura 6: http://echo.mpiwg berlin.mpg.de/ECHOdocuView/ECHOzogiLib?mode=imagepath&url=/mpiwg/online/permanent/library/9TE6563P/pageimg

Figura 7:Arithmetica Integra, Disponível em:

http://books.google.com.br/books?id=fndPsRv08R0C&dq=Arithmetica+Integra,&printsec=frontcover&source=bl&ots=XkYvY4Nlar&sig=vIHDlj8ZQ-M7LxLwO7SbKNo8uR8&hl=pt-BR&ei=zN5AS_f7AcGfuAeu06CiBw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=3&ved=0CBAQ6AEwAg#v=onepage&q=&f=false

Figura 8: http://www.ethbib.ethz.ch/exhibit/fibonacci/fibonacci-04-Tartaglia.html

Figura 10: Estátua de mármore de Blaise Pascal: Disponível em:

http://mathdl.maa.org/mathDL/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3284&pf=1

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Sobre a Autor:

Antonio Blogueiro desde 2007, gaúcho, gosta muito de ler, e é totalmente viciado em internet. Comecei blogar em 2005, e criei o Matemática na Veia no inicio de 2007. Sou formado em licenciatura Plena em Matemática pela UFPEL. Servidor Público,e fanático pela Web.