Progressões e somatórios (Sequências)

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Relatos de erros e correções em relação ao português serão bem vindos e podem ser esclarecidos através do RH - Sugestões e Reclamações.

PROGRESSÕES

      Neste artigo vamos introduzir uma pequena noção sobre progressões,sequências, além de somatórios,os quais serão retomadas em outros artigos mais detalhadamente,com programas para treinamento,com tutoriais e dicas.

Começando com alguns exemplos de sequências:

Os meses do ano: (janeiro, fevereiro, ..., dezembro)

As notas musicais: (dó, ré, mi, fá, sol, lá, si)

Os números naturais: (0, 1, 2, 3, 4, 5,7,8,9, ...)

As letras do alfabeto: (a,b,c,d,e,...,m,n,...,x,y,z)

Os dias da semana: (domingo, segunda,terça ..., sábado)

As quatro estações do ano: (primavera, verão, outono, inverno)

            Essas sequências apresentadas acima estão na forma explícita. Pois segundo o atual grau de conhecimento da sociedade,podemos interpretar facilmente qual será o próximo termo a partir de qualquer termo da sequência, se ela é finita ou infinita.

A natureza das sequências nos demonstra a necessidade de uma ordenação entre cada termo, ou seja, uma lei de formação que determine o antecessor e o sucessor de qualquer termo participante da sequência.

As sequências ainda podem ser apresentadas de duas maneiras:

Através da fórmula do termo geral. Por exemplo:

a_n = 4n - 9, n Є N* onde:

a₁ é o primeiro termo da sequência; 
a₂ é o segundo termo da sequência; e assim sucessivamente, até a_n é o enésimo termo [termo geral].

para n = 1 ; a₁ = (4 . 1) - 9 = -5

para n = 2 ; a₂ = (4 . 2) - 9 = -1

para n = 3 ; a₃ = (4 . 3) - 9 = 3

para n = 4 ; a₄ = (4 . 4) - 9 = 7

para n = 5 ; a₅ = (4 . 5) - 9 = 11 

que origina a sequência: ( a₁; a₂; a₃; a₄; a₅; ...) → ( -5; -1; 3; 7; 11; ...)

Através da Fórmula de Recorrência

a₁ = 2

a_n+1 = a_n + 5

Como já conhecemos o primeiro termo (a₁ = 2), chegamos aos demais pela seguinte conclusão:

Para estabelecer uma relação de coesão nessa fórmula " a_n+1 = a_n - 5 ", o a₂ tem n = 1, pois " a₁₊₁ = a₁ + 5 ", que resultará em " a₂ = a₁ + 5 " ,

Onde:

a₂ será o termo sucessor de a₁ e a₁ já conhecemos o valor.

Pedindo então os cinco primeiro termos:

a2 — n = 1 a1+1 = a1 + 5 a2 = 2 - 5 a2 = - 3

a3 — n = 2 a2+1 = a2 + 5 a3 = -3 - 5 a3 = - 8

a4 — n = 3 a3+1 = a3 + 5 a4 = -8 - 5 a4 = - 13

a5 — n = 4 a4+1 = a4 + 5 a5 = -13 - 5 a5 = - 18

Teremos:   (a₁; a₂; a₃; a₄; a₅) → (2; -3; -8; - 13; - 18)

SOMATÓRIO DE TERMOS

A letra grega maiúscula (∑) costuma ser utilizada para indicar soma dos termos de uma seqüência. Por exemplo:

5
∑	an	Lê-se: Somatória de an com n variando de 1 até 5
n = 1		S5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5

Nota: A letra ou caracter sigma ou Σ [minúscula inicial ou medial σ, minúscula final ς] é a décima oitava letra do alfabeto grego e que corresponde ao nosso S. No sistema numérico grego, tem o valor 200.

Observação :Em artigos posteriores voltarei a dar dicas mais detalhadas sobre somatórios.

Alguns exercícios para praticar:

a)- Dado a sequência a_n = 9n - 4, n Є N*, descubra o valor de a₆ + a₇ e verifique se o número 239 pertence a sequência:

a6 = 9(6) - 4 a6 = 54 - 4 a6 = 50

a7 = 9(7) - 4 a7 = 63 - 4 a7 = 59

a₆ + a₇ = 50 + 59 = 109

Para verificar se o número 239 pertence a sequência, devemos substituir a_n por 239. Como n Є N* ( todo número natural, exceção do zero), n deve ter valor natural.

239 = 9n - 4

- 9n = -4 - 239 ( -1)

9n = 243

n = 27

Assim o vigésimo sétimo termo da sequência tem como valor duzentos e trinta e nove.

b) - Dada a sequência a_n = 4n² - 3n + 5, n Є N*; determine o sétimo termo.

a₇ = 4(7)² - 3(7) + 5

a₇ = 4(49) - 21 + 5

a₇ = 196 - 21 + 5

a₇ = 180

c) - Seja a sequência definida por a_n = 4n + 3, n Є N e n ≥ 1, dê a soma dos cinco primeiros termos.

a1 = 4(1) + 3 a1 = 4 + 3 a1 = 7

a2 = 4(2) + 3 a2 = 8 + 3 a2 = 11

a3 = 4(3) + 3 a3 = 12 + 3 a3 = 15

a4 = 4(4) + 3 a4 = 16 + 3 a4 = 19

a5 = 4(5) + 3 a5 = 20 +3 a5 = 23

(a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅) → (7 + 11 + 15 + 19 + 23) = 75

            Em seguida temos uma prévia de um screenshot da apostila sobre história das sequências e progressões,escrita pelo Prof. João C.V. Sampaio. sampaio@dm.ufscar.br

            Um excelente resumo da matéria,bastante intuitiva,e alguns pontos relacionados a história da escola pitagórica e seu fundador,progressões no Egito antigo,não menos importante,os argumentos de Zenão.

Para ajudar no desenvolvimento de seus exercícios, temos uma categoria de softwares, e planilhas em Excel, acesse e divirta-se, elaborando, e resolvendo problemas com facilidade.

Em breve mais atualizações, aguarde.

Se você quer cooperar com dicas, programas, artigos; fique a vontade, e mande um e-mail para caco36@ibest.com.br ,ou comente aqui mesmo, por enquanto ficamos por aqui, Agradeço antecipadamente, comentários, dicas, criticas e sugestões.

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Sobre a Autor:

Antonio Blogueiro desde 2007, gaúcho, gosta muito de ler, e é totalmente viciado em internet. Comecei blogar em 2005, e criei o Matemática na Veia no inicio de 2007. Sou formado em licenciatura Plena em Matemática pela UFPEL. Servidor Público,e fanático pela Web.