Uma breve descrição dos Elementos de Euclides

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 OS ELEMENTOS DE EUCLIDES

Apresento aqui, uma pequena introdução sobre  um dos livros mais reproduzidos depois da bíblia. O livro , ''Os elementos de Euclides"  é analisado pela Dra Olga Maria Pombo Martins. Deleite-se!


"Os Elementos de Euclides têm uma importância excepcional na história das matemáticas. Com efeito, não apresentam a geometria como um mero agrupamento de dados desconexos, mas antes como um sistema lógico. As definições, os axiomas ou postulados e os teoremas não aparecem agrupados ao acaso, mas antes expostos numa ordem perfeita. Cada teorema resulta das definições, dos axiomas e dos teoremas anteriores, de acordo com uma demonstração rigorosa.

Euclides foi o primeiro a utilizar este método, chamado axiomático. Desta maneira, os seus Elementos constituem o primeiro e mais nobre exemplo de um sistema lógico, ideal que muitas outras ciências imitaram e continuam a imitar. No entanto, não podemos esquecer de que Euclides se esforçou por axiomatizar a geometria com os meios de que dispunha na época. É fácil compreender que o sistema que escolheu apresente algumas deficiências. Involuntariamente, em algumas das suas demonstrações admitiu resultados, muitas vezes intuitivos, sem demonstração.

Os treze livros

* Os livros I-IV tratam de geometria plana elementar. Partindo das mais elementares propriedades de retas e ângulos conduzem à congruência de triângulos, igualdade de áreas, e ao teorema de Pitágoras (livro I, proposição 47) e ao seu recíproco (livro I, proposição 48), à construção de um quadrado de área igual à de um retângulo dado, à secção de ouro, ao círculo e aos polígonos regulares. O teorema de Pitágoras e a secção de ouro são introduzidos como propriedades de áreas.

Como a maioria dos treze livros, o livro I começa com uma lista de Definições (23, ao todo) sem qualquer comentário como, por exemplo, as de ponto, reta, círculo, triângulo, ângulo, paralelismo e perpendicularidade de retas tais como:

“Um ponto é o que não tem parte”.

"Uma reta é um comprimento sem largura"

"Uma superfície é o que tem apenas comprimento e largura".

A seguir às definições, aparecem os Postulados e as Noções Comuns ou Axiomas, por esta ordem. Os Postulados são proposições geométricas específicas. "Postular" significa "pedir para aceitar". Assim, Euclides pede ao leitor para aceitar as cinco proposições geométricas que formula nos Postulados:

1. Dados dois pontos, há um segmento de reta que os une.

2. Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta.

3. Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer, se pode construir um círculo de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada.

4. Todos os ângulos retos são iguais.

5. Se uma linha reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos dois ângulos internos de um mesmo lado seja menor do que dois retos, então essas duas retas, quando suficientemente prolongadas, cruzam-se do mesmo lado em que estão esses dois ângulos

(É este o célebre 5º Postulado de Euclides)

Assim, três conceitos fundamentais - o de ponto, o de reta e o de círculo - e cinco postulados a eles referentes, servem de base para toda a geometria euclidiana.

* O livro V apresenta a teoria das proporções de Eudoxo (408 a. C. - 355 a. C.) na sua forma puramente geométrica.

* O livro VI aplica-a à semelhança de figuras planas. Aqui voltamos ao teorema de Pitágoras e à secção de ouro (livro VI, proposições 31 e 30), mas agora como teoremas respeitantes a razões de grandezas. É de particular interesse o teorema (livro VI, proposição 27) que contém o primeiro problema de máxima que chegou até nós, com a prova de que o quadrado é de todos os retângulos de um dado perímetro, o que tem área máxima.

* Os livros VII-IX são dedicados à teoria dos números tais como a divisibilidade de inteiros, a adição de séries geométricas, algumas propriedades dos números primos e a prova da irracionalidade do número . Aí encontramos tanto o "algoritmo de Euclides", para achar o máximo divisor comum entre dois números, como o "teorema de Euclides", segundo o qual existe uma infinidade de números primos (livro IX, proposição 20).

* O livro X, o mais extenso de todos e muitas vezes considerado o mais difícil, contém a classificação geométrica de irracionais quadráticos e as suas raízes quadráticas.

* Os livros XI-XIII ocupam-se com a geometria sólida e conduzem, pela via dos ângulos sólidos, aos volumes dos paralelepípedos, do prisma e da pirâmide, à esfera e àquilo que parece ter sido considerado o clímax - a discussão dos cinco poliedros regulares “platônicos” e a prova de que existem somente estes cinco poliedros regulares.

Considerações finais

Ao escrever os Elementos, Euclides pretendia reunir num texto três grandes descobertas do seu passado recente: a teoria das proporções de Eudoxo, a teoria dos irracionais de Teeteto (417 a. C. - 369 a. C.) e a teoria dos cinco sólidos regulares, que ocupava um lugar importante na cosmologia de Platão.

Euclides compilou nos Elementos toda a geometria conhecida na sua época. Mas, não se limitou a reunir todo o conhecimento geométrico, ordenou-o e estruturou-o como ciência. Isto é, a partir de uns axiomas desenvolveu e demonstrou os teoremas e proposições geométricas, dando novas demonstrações quando as antigas não se adaptavam à nova ordem que havia dado às proposições. Além disso, esmiuçou a fundo as propriedades das figuras geométricas, das áreas e dos volumes e estabeleceu o conceito de lugar geométrico.

Embora os Elementos tenham algumas deficiências lógicas, pelos padrões atuais, tais deficiências passaram despercebidas durante mais de dois milênios. O movimento crítico iniciou-se talvez nos finais do século XVII, com John Wallis (1616-1703), continuando um pouco difuso durante o século seguinte, com o abade jesuíta Saccheri (1667-1733) e os matemáticos Lambert (1728-1777) e Gauss (1777-1855). É já bem dentro do século XIX que a crítica a Euclides se assume até às últimas conseqüências, culminando quer na proposta de geometrias alternativas por Bolyai (1802 - 1860), Lobachewski (1792 - 1856) e Riemann (1826 - 1866), quer numa completa revisão dos fundamentos da geometria euclidiana por Pasch (1843 - 1930) e por Hilbert (1862 - 1943), quer ainda no surgimento de novas concepções sobre a classificação das geometrias por Félix Klein (1849 - 1925).

Nada disto retira o valor à monumental obra de Euclides. Como dizem Borsuk (1905 - 1982) e Szmielew (Foundations of geometry, 1960):

"Se o valor de um trabalho científico pode ser medido pelo tempo durante o qual ele mantém a sua importância, então os Elementos de Euclides são a obra científica mais válida de todos os tempos."

REFERÊNCIA:

http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/euclides/elementoseuclides.htm

Para saber mais sobre a autora do texto, acesse:

http://cfcul.fc.ul.pt/equipa/3_cfcul_elegiveis/olga%20pombo/opombo.htm

Veja também a Biografia de Euclides de Alexandria disponível no blog.

Em breve mais atualizações, aguarde.

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Sobre a Autor:

Antonio Blogueiro desde 2007, gaúcho, gosta muito de ler, e é totalmente viciado em internet. Comecei blogar em 2005, e criei o Matemática na Veia no inicio de 2007. Sou formado em licenciatura Plena em Matemática pela UFPEL. Servidor Público,e fanático pela Web.